数直線上の点 P は初め原点にある.サイコロを振り 1,2 が出たら正の向きに 2 進み,3,4,5,6 が出たら負の向きに
1 進むという操作を繰り返す.
6 回の操作をおこなったとき,点 P が常に x≧0 の範囲にある確率を求めよ.
答えは互いに素な自然数 a,b を用いて ab と表されるので,1 行目に a を,2 行目に b を答えよ.
8 つのアルファベット I,M,L,I,M,R,I,M を並べて得られる文字列であって,L が R より左にあるでかつ,I の右隣に M が来るものはいくつありますか.
方程式 x2−77⌊x⌋+55⌈x⌉+57=0 の実数解の 2 乗の総和を解答してください.
高校生時代(2016年)の作問のリメイクです.
以下の条件を満たすような正整数a,b,cが存在するので,そのようなa,b,cの組を1つ答えてください.
・ある奇素数p,正整数Nが存在し,ある正整数nが存在してan+bn+cnがpで割り切れ,かつ任意の正整数nに対してan+bn+cnはpNで割り切れない.
(a,b,c)と,この組に対して条件を満たすpを1つ用いて「(a,b,c)、条件を満たすpは~~」というように解答してください.
・誤答の場合0点.多少の書式の違いは認めます.
・正答の場合,pkをk番目に小さい奇素数としたときに任意のk=1,2,...sに対して「ある正整数Nが存在し,ある正整数nが存在してan+bn+cnがpkで割り切れ,かつ任意の正整数nに対してan+bn+cnはpNkで割り切れない.」が成り立つようなsの参加者全体中の最大値をx,あなたの解答に対する値をyとしたとき100yx以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が0に等しい場合は1点とします.
・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.
三角形 T の一つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数であるとする.また,T の面積は整数で,外接円の直径は素数であるとする.T の各辺の長さを求めよ.
Tの3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。(論証は採点できないので、解説を参照してください。)
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
(1) sin2x=2sinxcosxを用いて, limt→+0∫1tlogsinπ2θdθ=−log2を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いてlimt→+0∫1tθcosπ2θsinπ2θdθ を求めよ.
(2) limn→∞(∫11nn√sinπ2θdθ)nを求めよ.
電卓などを利用することで, (1)の答えを L1 とし, (2)の答えを L2 とするとき, L1+L2 の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. (例:0.1234567なら0.12345と解答する)
1000n (n は自然数) の正の約数の個数を Dn とし, そのうち 10n より大きく, 100n より小さいものの個数を Kn とする。
極限値
limn→∞KnDn
を求めよ。
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください.(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.