数学の問題一覧
問題文
$$ I_n=\int_{1}^{n}\log x dx $$
とする。ただし$n$は非負の整数。以下の設問に答えよ。ただし、必要ならば以下の式を用いてよい。
$$ e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!}$$
- $I_n \leq \log n! \leq I_{n+1}$を示せ。(20点)
- $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n!}{(n+1)^n}$を求めよ。(30点)
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
もし余裕があれば...
-
問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
-
例えば、以下のような観点でコメントしてくれると嬉しいです。
（もちろん、全てのテーマでコメントせずとも大丈夫ですし、他の観点からのコメントや批判も歓迎します）- この設問が完答できる生徒のレベル感は？（ヒント有、無それぞれ）
- ヒントありとして、授業に用いるとしたらどうか？
- ヒント無しで大学入試で出題されるとしたらどうか？
（かつて別のサイトに乗せたことがある問題です。）
問題文(50点)
$xy$平面で楕円について考察したい。以下の設問に答えよ。ただし、$a>c\geq0$とする。
①：長半径が$a$、焦点が$(0,0)$と$(-2c,0)$である楕円の方程式を定義から導け。(15点)
ここで、以下の様に$r,\theta$を導入する。
$$r=\sqrt{x^2+y^2},\ \cos\theta = \frac{x}{r},\ \sin\theta = \frac{y}{r}$$
また、$q$を以下の様に定義する。
$$q = \frac{c}{a}$$
このとき、①の楕円において次が成り立つ。
$$r=\frac{a(1-q^2)}{1+q \cos\theta} \tag{i}$$
②： $\ (\mathrm{i})\ $を示せ。(15点)
③： ①の楕円を原点周りに30°回転させた図形を$C$とする。また、$C$と$x$軸の交点をそれぞれ$A、B$とし、線分$AB$の長さを$L(q)$とする。$a$を定数として、$L(q)$の最大値及びそのときの$q$を求めよ。さらに、$L(q)$が最大になるとき、$C$はどのような図形か、その特徴を述べよ。(20点)
解答形式
入試本番や模試のような形で、記述形式で解答してください。
少し遅くなってしまうかも知れませんが、採点もさせていただきます。
注意
- 解説は正解者のみに公開される設定になっています。ですが、ヒントの欄に書いてあることと全く同じなので、正解できなかった場合もヒントをみて納得してもらえるとよいと思います。
もし余裕があれば...
-
問題の感想を教えてくれると嬉しいです。特に、難易度感や、教育的意義についてコメントしてくれると助かります。
-
例えば、この設問が完答できる生徒のレベル感などを予想してもらえると助かります。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(4)$ できた2次方程式が異なる2つの実数解をもつとき，その2解が共に負である条件付き確率を求めよ。
解答形式
$$
(求める条件付き確率)=\frac{A(Bn+C)(Dn+E)(Fn+G)}{Hn(In+J)(Kn+L)}
$$
$A$~$L$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで解答
わざとわかりづらくしてるので，1が入るところとかあります。
この問題は(4)です。(3)までを解かなくてもできますが，少し大変かもしれません。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(3)$ $\lim_{n\to \infty}P(n)$を求めよ。
(4)は，自作場合の数・確率1-4につづく
2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定
解答形式
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
この問題は(3)です。自作場合の数・確率1-2を解いてから解くことをお勧めします。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(2)$ $P(n)$を$n$の式で表せ。
(3)(4)は，自作場合の数・確率1-3につづく
2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定
解答形式
$$
P(n)= \frac{A(Bn+C)(Dn+E)}{F(Gn^{2}+Hn+I)}
$$
$A$~$I$に当てはまる整数を半角数字，空白区切りで回答
文字式の分数解答で自動ジャッジするのが大変だったので穴埋め式です。
わざとわかりづらくしてるので、1が入るところとかあります。
この問題は(2)です。が(1)を解かなくてもできます。解くと作者が喜びます。
問題文
以下の2次方程式
$$
x^{2}-2ax+b=0 ― (*)
$$
について，自然数$n$を用いて以下の手順で係数$a,b$を定める。
$a:-n$以上$n$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
$b:-n$以上$n^{2}$以下の整数が書かれたカードの中から1枚引いて書かれていた数字。
カードを引く確率は同様に確からしいとし，できた2次方程式が実数解をもつ確率を$P(n)$とする。
$(1)$ $P(2)$の値を求めよ。
(2)~(4)は，自作場合の数・確率1-2につづく
2025/01/07追記
解説をアップデート，全員に対して公開に設定
解答形式
分母分子の順に半角数字2つを空白区切りで回答
例）$\frac{1}{2}$と答えたいときは 2 1 と回答
問題文
各辺が$\;1\;$の正八面体$\;O$-$ABCD$-$E\;$において、$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a},\;\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b},\;\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{c},\;\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{d}$とする。
また、辺$\;OB\;$の中点を$\;M\;$、正八面体の各頂点を通る球 (外接球) の中心を$\;L\;$とする。
$(1)\;\overrightarrow{d}$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$(2)\;$球上の点と点$\;M\;$の最短距離を求めよ
$(3)\;(2)$において最短となる球上の点を$\;N\;$とすると、$\overrightarrow{LN}\;$を$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$を用いて表せ
$$$$
解答形式
㋐～㋗に当てはまる半角数字を行ごとに入力してください。
㋘～㋚には$\;1\;$か$\;-1\;$を入力してください
$(1)\;\overrightarrow{d}=㋐\;\overrightarrow{a}+㋑\;\overrightarrow{b}+㋒\;\overrightarrow{c}$
$(2)\displaystyle\frac{\sqrt{㋓}-㋔}{㋕}$
$(3)\;\overrightarrow{LN}=\displaystyle\frac{\sqrt{㋖}}{㋗}(\;㋘\;\overrightarrow{a}+㋙\;\overrightarrow{b}+㋚\;\overrightarrow{c}\;)$
問題
+1, -1, ×1, ÷1がそれぞれ書かれた4種類のカードがそれぞれ十分な枚数あります。
今、$a_{0}=1$として、毎回1枚のカードを引き、$a_{n+1}$を$a_{n}$に対してそのカードに書かれた操作をすることによって定めます。ただし、nは非負整数です。
例えば、+1、+1、×1の順でカードを引いた時、$a_{0}=1$、$a_{1}=2$、$a_{2}=3$、$a_{3}=3$となります
10回の操作後、$a_{10}=1$となるようなカードの引き方の総数を求めてください。
解答形式
非負整数のみで回答してください