数学の問題一覧
数直線上の点 $\mathrm P$ は初め原点にある．サイコロを振り $1, 2$ が出たら正の向きに $2$ 進み，$3, 4, 5, 6$ が出たら負の向きに
$1$ 進むという操作を繰り返す．
$6$ 回の操作をおこなったとき，点 $\mathrm P$ が常に $x\geqq0$ の範囲にある確率を求めよ．
答えは互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac ab$ と表されるので，$1$ 行目に $a$ を，$2$ 行目に $b$ を答えよ．
問題文
方程式 $x^2 - 77\left\lfloor x \right\rfloor + 55\lceil x \rceil + 57 = 0$ の実数解の $2$ 乗の総和を解答してください．
備考
高校生時代(2016年)の作問のリメイクです.
問題文
$8$ つのアルファベット $\mathrm{I, M, L, I, M, R, I, M}$ を並べて得られる文字列であって，$\mathrm{L}$ が $\mathrm{R}$ より左にあるでかつ，$\mathrm{I}$ の右隣に $\mathrm{M}$ が来るものはいくつありますか．
問題文
以下の条件を満たすような正整数$a,b,c$が存在するので,そのような$a,b,c$の組を$1$つ答えてください.
・ある奇素数$p$,正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p^N$で割り切れない.
解答形式
$(a,b,c)$と,この組に対して条件を満たす$p$を$1$つ用いて「$(a,b,c)$、条件を満たす$p$は～～」というように解答してください.
得点について
・誤答の場合$0$点.多少の書式の違いは認めます.
・正答の場合,$p_k$を$k$番目に小さい奇素数としたときに任意の$k=1,2,...s$に対して「ある正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p_k$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p_k^N$で割り切れない.」が成り立つような$s$の参加者全体中の最大値を$x$,あなたの解答に対する値を$y$としたとき$\dfrac{100y}{x}$以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が$0$に等しい場合は$1$点とします.
・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.
問題文
三角形 $T$ の一つの辺の長さは平方数で，残りの辺の長さは素数であるとする．また，$T$ の面積は整数で，外接円の直径は素数であるとする．$T$ の各辺の長さを求めよ．
解答形式
$T$の3辺の長さの総和としてありうる値の総和を解答してください。（論証は採点できないので、解説を参照してください。）
備考
2018年3月の大学への数学「読者と作るページ」に掲載された問題です。
問題文
(1) $\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}$を用いて, $\displaystyle\lim_{t\to +0}\int_{t}^{1} \log{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}}\, d\theta = -\log{2}$を示せ(極限値の存在は認めてよい). これを用いて$\displaystyle\lim_{t\to + 0}\int_{t}^{1} \dfrac{\theta\cos{\frac{\pi}{2}\theta}}{\sin{\frac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta$ を求めよ.
(2) $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \left(\int_{\frac{1}{n}}^{1} \sqrt[n]{\sin{\dfrac{\pi}{2}\theta}} \, d\theta\right)^{n}
$を求めよ.
解答形式
電卓などを利用することで, (1)の答えを $L_1$ とし, (2)の答えを $L_2$ とするとき, $L_1 + L_2$ の値を小数点第5位まで表示したものを回答してください. （例：0.1234567なら0.12345と解答する）
問題文
$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。
極限値
$$
\lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}}
$$
を求めよ。
解答形式
電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください．(0.1234567...の場合0.12345と解答する)
備考
本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.
問題文
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
解答形式
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
備考
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
問題文
$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について，$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$，$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．
解答形式
半角整数値で解答してください．