数学の問題一覧
$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$
が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.
問題文
$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME, AE=25, BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.
問題文
$$\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{7+\sqrt{11+\sqrt{13+...}}}}}}$$
この無限入れ子根号は、発散するのか。
解答形式
証明をしてください。
問題文
$$\sqrt{2+\sqrt{3+\sqrt{5+\sqrt{7+\sqrt{11+\sqrt{13+...}}}}}}$$
この無限入れ子根号は、発散するのか。
解答形式
証明をしてください。
問題文
初めのブロックの体積をxとし、それを二等分する作業一回をnとする。
例:1→2→4→8 のように二等分する。この時、n =3であり、最後のブロックの数は8である。また全体を通して7回二等分している。この時、次の問いに答えよ。
(1)最後のブロックの数が4194304の時、nの値を求めよ
(2)n =12であり、最後のブロック1つの体積が10であるとき、xの値を求めよ
(3)全体を通して二等分した回数をnを用いて表せ
(4)今まで二等分されたブロックの数の和をnを用いて表せ
例:n=1の時、ブロックの和は3、n=2の時、ブロックの和は7、n=3の時、ブロックの和は15
解答方法
(1)◯◯
(2)◯◯
(3)◯◯
のように行を変えて答えなさい。
n=、x=などは必要ありません。 累乗の指数の項が複数ある場合は()をつけなさい
例:3^(x+3)、4^3
マイナスはハイフンで答えなさい。→-
問題文
(1) 自然数 $n$ について、$\cos\theta = x$ とおくと $\cos n\theta$ が $x$ の多項式で表せ、またその係数はすべて整数となることを示せ。
(2) $\cos 36^\circ,\ \cos 72^\circ$ を求めよ。
(3) 自然数 $n$ について、$n$ が 5 の倍数でないとき、$\cos(n^\circ)$ は無理数であることを示せ。
(4) $n$ 次の多項式
$$
A_n x^n + A_{n-1} x^{n-1} + \cdots + A_1 x + A_0 = 0
$$
について、これが有理数解をもつならば、その解は
$$
\frac{\text{定数項 } A_0 \text{ の約数}}{\text{最高次の係数 } A_n \text{ の約数}}
$$
の形で表されることを示せ。
(5) $0<n<90$ を満たす自然数 $n$ について、$\cos(n^\circ)$ が有理数となる $n$ はいくつ存在するか。
三角形 ABC の頂点は A(0,0), B(6,0), C(4,6) である。
AC の中点を通り、BC に垂直な直線の方程式を求めよ。
この直線と AB の交点を求めよ。
この交点から頂点 C までの距離を求めよ。