数学の問題一覧
問題文
ある大きさの球から、ある直径の円柱をくりぬいた。円柱の軸は球の中心を通る。（ビーズのような形を想像してください）
この立体の体積が$36\pi$のとき、以下のうちいずれかの値が一意に定まる。
- 円柱の底面の半径
- 球の半径
- 円柱の深さ
一意に定まるものの番号と、その値を求めよ。
解答形式
一意に定まるものの番号を半角数字で1行目に、その値を2行目に入れてください。2行目は整数または既約分数で答えてください。
解答例
1
4
問題文
1円, 5円, 10円, 50円, 100円, 500円の硬貨が1枚ずつある。1回目の試行で6枚の硬貨を投げ、表が出た硬貨をもらうことができる。2回目の試行では、残った硬貨を投げ、やはり表が出た硬貨をもらうことができる。もらえる金額が600円以上になったらこの試行は終了するものとする。
(1) 1回目の試行で終わる確率はいくらか。
(2) 2回目の試行で終わる確率はいくらか。
解答形式
(1)の答えを1行目に、(2)の答えを2行目に既約分数で入れてください。
解答例
1/2
3/10
問題文
$x_1,x_2,\ldots,x_{24}$は正の実数とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。
$$
\left(\sum_{n=1}^{24}\frac{n}{x_n}\right)\times\left(\sum_{n=1}^{24}nx_n\right)
$$
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
図のように2つの半円が配置されています。（右側の半円の直径の一端は左側の半円の中心に一致する。）赤、緑で示した線分の長さがそれぞれ3,10のとき、青で示した四角形の面積を求めてください。
ただし、図中点線で示した直線は2つの半円の共通接線です。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
$7^{7^7}$ を $777$ で割ったあまりを求めよ。
（注：$7^{7^7}$ は「 $7$ の「 $7$ の $7$ 乗」乗」を表すものとする。）
解答形式
$0$ 以上 $776$ 以下の整数を、半角数字で1行目に入力せよ。
問題文
相異なる正の実数 $a,b,c$ が $ab^2(1-b)=bc^2(1-c)=ca^2(1-a)$ を満たして動くとき、$(1-a)(1-b)(1-c)$ の最大値は
$$
\displaystyle \frac{\fbox{アイウ}+\fbox{エオ}\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キクケ}}
$$
である。
解答形式
ア〜ケには、0から9までの数字、または-（マイナス）が入る。文字列「アイウエオカキク」を全て半角で1行目に入力せよ。ただし、それ以上約分できない形で、かつ根号の中身が最小になるように答えよ。
問題文
次の条件(a), (b)をともに満たす自然数（$1$ 以上の整数）$\rm{A}$ の最小値を求めよ。
(a) $\rm{A}$ は連続する $3$ つの自然数の和である。
(b) $\rm{A}$ を $10$ 進法で表したとき、$1$ が連続して $9$ 回以上現れるところがある。
解答形式
半角数字のみで1行目に入力せよ。
問題文
$N$ を正の整数として、以下の条件をすべて満たす数列 $\{a_n \}$ $(n=1,2,...)$ を考える。
・$a_1=1$
・$a_N=2020$
・すべての正の整数 $n$ について $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{4a_n}{a_{n+1}}=\frac{1}{a_n}- \frac{2}{a_{n+1}}+4$ が成り立つ。
このとき、$N=\fbox{アイ}$ である。また $a_7=\fbox{ウエオ}$ である。
解答形式
ア〜オには、0から9までの数字が入る。
$N=\fbox{アイ}$ の答えとして、文字列「アイ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
$a_7=\fbox{ウエオ}$ の答えとして、文字列「ウエオ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
問題文
$a$ を実数の定数とする。正の実数値をとる関数 $y(x)$ は何回でも微分可能で、
$$
\begin{cases}
2yy''''+(y'')^2=2y'y'''+a & (x \in {\mathbb R})\\
y'(0)=y''(0)=0 \\
y'''(0)=y''''(0)=1
\end{cases}
$$
を満たすとする。$\displaystyle a=\frac{50}{17}$ のとき、（$x$ が実数全体を動くときの）$y(x)$ の最小値は $\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエオ}}$ である。
解答形式
ア〜オには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエオ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
ただし、それ以上約分できない形で答えよ。
問題文
$f(x)=-16x^3+24x^2-9x+1$ とおく。以下の問いに答えよ。
⑴ 以下の式が $\theta$ の恒等式になるように空欄を埋めよ。なお、同じ文字の空欄には同じ数が入る。
$$
f\left( \frac{\fbox{ア}+\sin\theta}{\fbox{イ}}\right)=\frac{\fbox{ア}+\sin(\fbox{ウ}\theta)}{\fbox{イ}}
$$
⑵ 次の定積分を求めよ。
$$
\int_ {0.5} ^{0.75} f(f(f(x))) dx = \frac{\fbox{エオカ}}{\fbox{キクケコ}}
$$
解答形式
ア〜コには、0から9までの数字が入る。
⑴の答えとして、文字列「アイウ」をすべて半角で1行目に入力せよ。
⑵の答えとして、文字列「エオカキクケコ」をすべて半角で2行目に入力せよ。
ただし、分数はそれ以上約分できない形で答えよ。
問題文
【解答形式に注意!】
半径と中心角が等しい扇形に正方形が内接しています。青い正方形と赤い正方形の面積の大小関係を調べてください。
ただし、同じ印をつけた部分の長さは等しいです。
解答形式
(青の面積) > (赤の面積) なら 1
(青の面積) = (赤の面積) なら 2
(青の面積) < (赤の面積) なら 3
を、半角数字で解答してください。
問題文
$△ABC$は鋭角三角形とします。次に、$A,B,C$から$BC,CA,AB$におろした垂線の足をそれぞれ$X,Y,Z$とし、$△ABC,△XYZ$の内接円の半径をそれぞれ$r,r'$とします。このとき、次の式の最小値を求めてください。
$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}
$$
解答形式
$$
\frac{r}{r'}\cos{\frac A2}\cos{\frac B2}\cos{\frac C2}\geq\frac{[ア]\sqrt{[イ]}}{[ウ]}=(最小値)
$$
となります。$[ア]+[イ]+[ウ]$を半角数字で解答してください。
ただし、$[ア],[イ],[ウ]$には自然数が入ります。また、分数部分は既約分数に、根号内の数字は最小となるようにしてください。