数学の問題一覧
問題文
$0.017$$<$$tan1°$$<$$0.018$
を示せ。
解答形式
大学数学なし
自己流ですが、解説を付けているのでぜひ挑戦してみてください
問題文
$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する（ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元）。
$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする（空集合 $\emptyset$ も含む）。
$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。
解答形式
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください
問題文
n を正の整数とし、$p$ を素数とする。$n!$ の素因数分解における $p$ の指数を $E_p(n!) = \sum_{k=1}^{\infty} \lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor$ とする。
量 $Q_n$ を次のように定義する。
$$ Q_n = \sum_{p \le n} \left( \frac{n}{p-1} - E_p(n!) \right) \log p $$
ただし、和は $n$ 以下の全ての素数 $p$ を走り、$\log$ は自然対数とする。
次の極限値を求めよ。
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{Q_n}{n} $$
ただし、オイラー・マスケロー二定数を $γ$ とする。
解答形式
半角で
問題文
九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX \tan\angle ACB=\frac{5}{6} AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.
解答形式
半角で解答して下さい.
問題文
SKG学院の文化祭では，$1$から$10$の目が一つずつ書かれた十面体の歪んだダイスを配布しています．
このダイス$10$個に$1$から$10$までの番号をつけることにしました．
ここで以下のような事実が分かっています．
また$1≦n≦10$を満たす任意の整数$n$について，番号$s$がついたダイスを一回振って$n$の目が出る確率を$a_{n^s}$と書くことにします．
・$a_{1^s}:a_{2^s}…a_{9^s}:a_{10^s}=1^s:2^s\cdots9^s:10^s$を満たす．
この$10$個のダイスを同時に一回振る時，出目の積の期待値を求めて下さい．
解答形式
半角数字で入力して下さい．
問題文
今年でSKG学院の文化祭は第$66$回を迎えます．また今年度は $2025$ 年です．
さて$0,2,5$ のみを用いた数式の内，答えが $66$ となるようなものを一つ求めてください．
但し，演算子($+, -, \times$ など)は自由に用いて良いものとします．
一例:
$\left( (2 \times 0 \times 2 \times 5)! + (2 \times 0 \times 2 \times 5)! \right) \times \left( 2^2 + 0^2 + 2^2 + 5^2 \right) = (1+1) \times 33 = 66$
解答形式
式と答えを省略無しで入力して下さい．上の例とは違うものをお願いします．