数学の問題一覧

問題文

AさんBさんの二人の人がいる
この時サイコロをAさんが投げる
1.2.3が出たら次回は次の人がサイコロを投げる
4.5が出たら次回も同じ人が投げる
6が出たら勝利である
N回目でAが勝利する確率を求めよ

解答形式

Nについての式を求めよ

$$
|{i}^{2n}|
$$

$$
|log_{l}{l}^{3}||log_{m}{m}^{2}||log_{n}{n}^{4}||log_{l}{l}^{-3}||log_{m}{m}^{-2}||log_{n}{n}^{-4}|\\を求めて下さい。
$$

問題文

$AB=20,CD=23,AD=12,BC=31$ を満たす四角形 $ABCD$ について，三角形 $ABD$ の内心を $I_1$ とし，三角形 $BCD$ の内心を $I_2$ とします．
$I_1I_2$ と $BD$ の交点を $X$ とすると $DX=\dfrac{12}{31}$ となったとき，$BX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

座標平面上の $|x|≦1$ かつ $|y|≦1$ を満たす領域を $D$ とする。また傾き $1$ の直線を $l$, $y=x^2$ のグラフを平行移動したグラフ $C$ の頂点を $P$ とする。$l$ を $D$ と共有点を持つように, $C$ を $P$ が $D$ 内に存在するように無作為にとるとき, $l$ と $C$ が交わる確率を求めよ。

解答形式

少数第4位を四捨五入して, 少数第3位までを,半角数字で解答してください。

問題文

4次関数のグラフ$C:y=f(x)$は2つの変曲点$\mathrm{P},\mathrm{Q}$をもち、1本の複接線が引けて、異なる2点$\mathrm{A}(\alpha,f(\alpha)),\mathrm{B}(\beta,f(\beta))$が接点となる。また$f(x)$の4次の係数は1である。このとき、$\displaystyle\frac{d^3}{dx^3}f(x)=0$の解を$x=\gamma$、$\mathrm{C}(\gamma,f(\gamma))$、複接線を$l_1$、直線$\mathrm{PQ}$を$l_2$、$C$上の点$\mathrm{C}$における接線を$l_3$、$l_2$と$C$の交点のうち$\mathrm{P},\mathrm{Q}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{R},\mathrm{S}$、$l_3$と$C$の交点のうち$\mathrm{C}$と異なる点をそれぞれ$\mathrm{D},\mathrm{E}$とおく。ただし$x$座標について、$\mathrm{A}$より$\mathrm{B}$、$\mathrm{P}$より$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$より$\mathrm{S}$、$\mathrm{D}$より$\mathrm{E}$の方が大きいとする。

(1)直線$l_1,l_2,l_3$は互いに平行であることを示せ。

(2)線分長の2乗比$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2$を求めよ。

(3)線分長の2乗比$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2$を求めよ。

(4)直線$l_2$と$C$で囲まれる部分の面積$S$を$\alpha,\beta$で表わせ。

解答形式

(2),(3),(4)の答えはそれぞれ一桁の自然数a,b,c,d,e,f,g,h,i,jを用いて以下のように表されます。
センター、共通テスト形式で埋め、10桁の自然数abcdefghijを答えてください。
$\mathrm{AB}^2:\mathrm{PQ}^2=a:b$
$\mathrm{RS}^2:\mathrm{DE}^2=c:d$
$S=\displaystyle\frac{e\sqrt{f}}{ghi}(\beta-\alpha)^j$

問題文

定点 $\mathrm{P_0}$, $\mathrm{P}$ があり, $\mathrm{P_0 P}=1$ を満たしている.
線分 $\mathrm{P_0 P}$ の中点を $\mathrm{P_1}$,
線分 $\mathrm{P_1 P}$ の中点を $\mathrm{P_2}$,
線分 $\mathrm{P_2 P}$ の中点を $\mathrm{P_3}$, ... というように, $n\in\mathbb{N}$ に対し, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ を 線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}\mathrm{P}}$ の中点として, 線分 $\mathrm{P_0 P}$ 上に無数の点をとる. いま, このようにしてできた全ての点が同時に出発して, 点 $\mathrm{P_\mathit{n}}$ が点 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1}}$ を中心として円を描くように動くとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{P_\mathit{n}}$ が描く曲線の長さを求めよ.
ただし, 線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ が線分 $\mathrm{P_0 P}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ が線分 $\mathrm{P_0 P_1}$ に対してなす角,
線分 $\mathrm{P_2 P_3}$ が線分 $\mathrm{P_1 P_2}$ に対してなす角, ...
線分 $\mathrm{P_\mathit{n} P_{\mathit{n}+1}}$ が線分 $\mathrm{P_{\mathit{n}-1} P_\mathit{n}}$ に対してなす角の変化はすべて等しく, 一定の割合であるとする.

2023/02/22 訂正:

tima_C様のご指摘を受け、難易度を変更しました.

2023/03/21 訂正:

解答形式を変更しました. 解答に影響はありません.

解答形式

スペースを含めず, ASCII文字のみを用いて $\mathrm{\LaTeX}$ 形式で解答してください. $は必要ありません.

ただし, 文字や根号などの係数が分数の場合は
$$
\frac{3}{2}x\rightarrow\frac{3x}{2}
$$
のように, 文字を分子にまとめてください.

問題文

A,B,Cの三人がこの順で時計回りに座って次のようなゲームをする。
(i)始め、AはCと書かれたカード、BはAと書かれたカード、Cは無地のカードとBのカードを持っている。
(ii)Aから時計回り順で、反時計回りに隣の人が持つカードから1つを等確率で選んで引く。
(iii)(ii)を繰り返して、自分の名前の書かれたカードを最初に引いた人を勝ちとする。
A,B,C,がが勝つ確率をそれぞれ、$a$,$b$,$c$とする。$a$,$b$,$c$をそれぞれ求めよ。

解答形式

半角英数字で(分子)/(分母)として既約分数で解答してください。(例)35/216
$a$を1行目、$b$を2行目、$c$を3行目に、解答してください。完答で正解とします。
8/25追記　解説を公開しました。

$以下の数列\text{{$a_n$}}の一般項を求めよ.$

$$a_1=\dfrac{1}{12},\,a_{n+1}=\dfrac{a_n}{3^{n+1}a_n+3}$$

問題文

長さnのロープがあるとき、ロープの始点と終点をくっ付けて出来る平面図形の最大の面積または近似値を求めよ。ただし、ロープは自由自在に曲げられ、無限の頂点を持つものとする。

解答形式

答えとその理由を書いてください。

$$
\int_{0}^{cos60°}\quad(\sqrt{\sqrt{\sqrt{({m}^8+8{m}^7+28{m}^6+55{m}^5+54{m}^4+41{m}^3+43{m}^2+8{m}+1)}}}dm\\について積分して下さい。
$$
$$
(1)\frac{11}{2}(2)\frac{13}{3}(3)\frac{14}{3}(4)\frac{15}{8}
$$

問題文

複素数の数列$\lbrace z_{n}\rbrace (n=0, 1, 2, ...)$は
$$
z_{n+1}=\left\lvert\frac{z_{n}+\bar{z_{n}}}{2}\right\rvert z_{n} (n=0,1,2,...)
$$
を満たしている。このとき，$\displaystyle \lim_{n\to \infty}z_{n}$が収束するような$z_{0}$の存在範囲を複素数平面上に図示せよ。

解答形式

この存在範囲を数式で表現してください。最も簡単な1つの等式あるいは不等式を用いてください。