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問

√13ー２√11を√を使用せずに答えなさい

解答形式

中学生までの知識のみを使用し解となぜその解になるのか示しなさい

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$ $,$ $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とし $,BC$ の中点を $M$ とする$.$ 直線 $AM$ 上に $\angle APH=90 ^。$ となる点 $P$ をとり$,$ 直線 $DE$ と直線 $FP$ の交点を $Q$ とする $.$
また $,$ 三角形 $AHC$ の外接円と三角形 $ABM$ の外接円との交点を$R$ $,$ 三角形$AHC$の外接円と線分 $DE$ の交点を$S$ とする $.$
$$AM:AS=\sqrt{3}:\sqrt{2}　　AQ=11　　QR=7$$
が成り立つとき, $BC$ の長さを求めよ.

解答形式

$BC^2$ は正の整数値になるので,その値を半角で解答してください.

問題文

三角形 $ABC$ があり, 辺 $BC$ の中点を $M$ とします. $B$ から直線 $AM$ に下した垂線の足を $X$ とすると,$A,X,M$ はこの順にあり
$$AX=9　　XM=2　　\angle{BAM}=\angle{XCB}$$
が成立しました. $AC^2$ を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値になるので,半角で解答してください

問題文

同様に確からしいサイコロを$2$回振り、出た目を順に$a,b$とします。
$\sqrt{a-\sqrt{b}}$の二重根号が外せる確率を求めてください。

解答形式

二重根号を外せる確率は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$p+q$の値を半角数字で入力してください。

解答に誤りがありました。(修正済み)大変申し訳ございません。

問題文

網掛けになっている小さい正六角形と大きい正六角形の面積比は、互いに素な自然数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表せます。 $a+b$ の値を答えてください。