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問題文

三角形 $ABC$ について，その垂心を $H$ ，外心を $O$ とする．直線 $BH$ と直線 $AC$ との交点を $E$ ，直線 $CH$ と直線 $AB$ との交点を $F$ とすると，$3$ 点 $E,O,F$ は同一直線上にあった．$AH=8,AO=6$ のとき，四角形 $EFBC$ の面積の二乗の値を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC$ の中点を $M$ とし，$\angle ABC$ の二等分線と直線 $AM$ との交点を $D$ とすると，以下が成立した．
$$BC=4,\angle ADB=\angle AMC=3\angle BAM$$このとき，線分 $AC$ の長さの二乗は正整数 $a,b$ を用いて $a+\sqrt b$ と表せるので，$a+b$ を解答せよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

任意の正整数 $m$ に対して $n^m-n$ が $10!$ の倍数であるような $10!$ 以下の正整数 $n$ の個数を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

$n^2+78n-79$ を $100$ で割った余りが平方数とならないような最小の正整数 $n$ を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください（数字のみ）。

問題文

$p$ を $3$ 以上の素数とする。
$f(x),\ g(x)$ はいずれも整数係数の多項式である。
$f(x),\ g(x)$ が次の条件を全て満たすとき，
存在しうる $f(x),\ g(x)$ の組み合わせは何通りあるか。

$(a)$　$f(g(x)) = x^{p^p} + 1$

$(b)$　$f(0)$ が $p$ で割り切れる。

$(c)$　$1 \le g(0) \le p^{p}$

解答形式

pを用いて解答。答えのみの解答で構いません。