金木犀の自作問題（2022/06/19）

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 中学数学
2022年6月19日2:11 正解数: 7 / 解答数: 7 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
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解説

中線定理の拡張として $3$ 点 $A,B,C$ とその重心 $G$ および任意の点 $P$ に対して
$$AP^2+BP^2+CP^2=AG^2+BG^2+CG^2+3GP^2$$が成り立つ（解説画像 $3$ 行目）。なお、一般に空間内の $n$ 点について、同様に拡張可能である。

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半角数字で解答してください。

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※図中の各線分の長さの比は正確とは限りません。

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互いに素な正整数 $a,b$ によって $CG=\dfrac{a}{b}$ と表せるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。

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問題文

$\angle C=90°$ である $\triangle ABC$ において, $C$ から $AB$ へおろした垂線の足を $P$ , $\angle C$ の二等分線と $AB$ との交点を $Q$ とします. $AQ=3,BQ=4$ のとき, $PQ$ の長さを求めてください.
（下図には $CP⊥AB$ であることが書かれていませんので, 注意してください. ）

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ によって $PQ=\dfrac{a}{b}$ と表せるので, $a+b$ の値を半角数字で解答してください.

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図の条件の下で、緑の線分の長さ $x$ を求めてください。

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$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

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図の条件の下で、青で示した線分の長さ $x$ を求めてください。

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互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $x=\dfrac{a}{b}$ と表せるので $a+b$ の値を半角数字で解答してください。

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$x^2$ の値を半角数字で解答してください．

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図の条件の下で、$x$ で示した角の大きさを求めてください。
ただし、外側の三角形は鋭角三角形であるとします。

解答形式

$x=a$ 度です $(0<a<30)$ 。$a$ の値を半角数字で解答してください。