うぉり～っす

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2020年6月15日8:39 正解数: 4 / 解答数: 6 (正答率: 66.7%) ギブアップ不可
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問題
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問題文

数列 $ \{ a_n \} $ $(n=1,2\dots)$ を、
$$
a_1=1,\ a_{n+1} = \sum_{k=1}^{n}\frac{8k-3}{4n^2-1}a_k\ (n = 1,2,...)
$$

で定める。$\displaystyle \lim_{n\to\infty}{a_{n}}$ を求めよ。

解答形式

求める極限値は、ある有理数 $q$ を用いて $q \pi$ と表せる。この $q$ を小数で表し、小数第4位を四捨五入したものを入力せよ。すべて半角数字で入力すること。なお、もし $3/2=1.5$のようになる場合は、$1.500$ と入力せよ。

ヒント1

$a_{n+1}$ を ($a_1,a_2,...a_{n-1}$を含まない) $a_n$ だけの式で表し、一般項を求めよ。

ヒント2

$I_n =\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin{x})^n\ dx\ (n=0,1,2,...)$ とする。部分積分を繰り返し行うことで $I_n$ を計算し、これを $a_n$ の一般項と比べよ。

ヒント3

$a_n$ を $I_n$ で表し、$I_{2n}<I_{2n-1}<I_{2n-2}$ であることからはさみうちの原理を用いよ。

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この問題は自動ジャッジの問題です。 解答形式が指定されていればそれにしたがって解答してください。

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問題文

図の条件の下で、青で示した線分の長さ $x$ を求めてください。
なお、緑で示した２つの角の大きさは等しく、ピンクで示した点は三角形の重心です。

解答形式

半角数字で解答してください。

球を対称式で移す

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問題文

実数 $a,b,c$ が $a^2+b^2+c^2\leqq 1$ を満たして動くとき、
座標空間上の点 $(a+b+c, ab+bc+ca, abc)$ が動く領域を $D$ とする。
以下の問いに答えよ。

⑴ $yz$ 平面に平行な平面 $\pi_t\colon \ x=t$ と $D$ が共有点を持つような実数 $t$ の範囲を求めよ。

⑵ $t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、平面 $\pi_t$ と $D$ の共通部分を $E_t$ とする。
このとき、 ある $t$ の関数 $m(t), M(t)$ および $t$ と $y$ の関数 $p(t,y),q(t,y)$ が存在して、

$$
\begin{eqnarray}
E^1_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ m(t) \leqq y \leqq M(t) \}\\
E^2_t &=& \{ (x,y,z)|\ x=t,\ z^2+p(t,y)z+q(t,y)\leqq0 \}
\end{eqnarray}
$$

とおけば $E_t = E^1_t \cap E^2_t $ と表せる。このような $m(t), M(t), p(t,y),q(t,y)$ を求めよ。

⑶ $E_t$ の面積を $S(t)$ とおく。$t$ が⑴で求めた範囲にあるとき、$S(t)$ を $t$ の式で表せ。 ただし、 $E_t$ がただ一点からなるときは $S(t)=0$ であるとする。

⑷ $D$ の体積 $V$ を求めよ。

解答形式

⑷のみ解答せよ。解は $V = \frac{\sqrt{(ア)}}{(イウ)}\pi$ と書ける。(ア)、（イウ）に当てはまる自然数をそれぞれ1,2行目に半角で入力せよ。ここでア,イ,ウの各文字には0から9までの整数のいずれかが入る。たとえば（ア）=3（イウ）=57 と解答する場合は、1行目に「3」、2行目に「57」と入力せよ。なお、根号の中身が最小になるように解答すること。

expもどき

masorata 自動ジャッジ 難易度:
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問題文

すべての複素数に対して定義され、複素数の値をとる関数 $f(z)$ は、すべての複素数 $z,w$ について

$$
f(z+w)=f(z)f(w)+zw　...(*)
$$

をみたすとする。以下の問いに答えよ。

⑴ すべての複素数 $z$ について $f(2)f(z)+z = f(1)f(z+1)+1$ が成り立つことを示せ。
⑵ $(*)$ をみたすような $f(z)$ をすべて求めよ。

解答形式

⑵を解答したうえで、以下の空欄ア～エに当てはまる0～9の整数を順に並べて4桁の半角数字「アイウエ」を入力せよ。根号の中身が最小になるように解答せよ。

$|f(5+11i)|$ のとりうる値のうち最大のものは$(アイ)$, 最小のものは$(ウ)\sqrt{(エ)}$ である。

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次の式を因数分解しなさい

$2(x-y)^2-xy(x^2+2xy+y^2-3)+(2x+2y)^2-(x+y)^2+xy[(x+y)(x-y)+2y(x+y)+5]$

解答形式

半角で解答のみを記入すること

降べきの順で記入すこと

同じ項の中にx,yが同時にある場合、xを先に記入すること

指数の表記は　^n　の形で解答すること

括弧の外にある係数は左側に記入すること

括弧内の項は、文字　数　の順に記入すること

18月前

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問題文

図の条件の下で、ピンクで示した線分の長さ $x$ を求めてください。
なお、外側の四角形は正方形です。

解答形式

半角数字で解答してください。

求長問題12

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問題文

長方形・正方形・円が図のように配置されています。赤で示した線分の長さが7、長方形の面積が12のとき、青い線分の長さとしてあり得るものを全て求めてください。

解答形式

解答は$\sqrt{\fbox {アイ}},\frac{\sqrt{\fbox{ウエオ}}}{\fbox カ}$となります。文字列「アイウエオカ」を解答してください。ただし、根号の中身が平方数の倍数とならないように解答してください。

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【補助線主体の図形問題 #017】
　今回は方針により計算量が変化する問題を用意しました。とはいえ暗算で解くには幾分厳しいです。簡単な計算用紙＆筆記具をお手元にご用意の上で挑戦してみてください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 全体方針をぼんやりと
  2. ヒント1の続き
  3. ヒント2の続き
  4. ヒント3の続き

正方形と2つの円

tb_lb 自動ジャッジ 難易度:
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【補助線主体の図形問題 #015】
　今回は円がらみの求長問題にしてみました。地道なド根性解法もありますが、補助線次第では暗算も可能なように仕込んであります。お好みの解法・手法で挑戦してみてください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\myang#1{\angle \mathrm{#1}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\myarc#1#2{\stackrel{\style{transform:matrix(#1,0,0,1.5,0,2)}{\frown}}{\mathrm{#2}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 前半の方針をぼんやりと
  2. ヒント1の続き
  3. 後半の方針をぼんやりと
  4. ヒント3の続き

6つの正方形

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【補助線主体の図形問題 #004】
　今日の図形問題は正方形をたっぷりと並べてみました。座標幾何や複素数平面に落とし込みたい誘惑を断ち切って補助線解法を堪能していただけたら本望です。うまく引ければ余裕で暗算可能ですよ！

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
\def\jsim{\mathrel{\unicode[sans-serif]{x223D}}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. おおざっぱな方針
  2. ヒント1の続き
  3. ヒント2の続き
  4. ヒント1～3を具体的に

求値問題7

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

3

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。

求角問題7

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度:
2年前

5

問題文

図のように正五角形と正三角形が配置されています。緑の$x$で示した角度を求めてください。
なお、赤で示した2つの線分は長さが等しく、青で示した角は直角です。

解答形式

度数法で、単位を付けずに0以上180未満の数を半角数字で解答してください。

2年前

2

【補助線主体の図形問題 #014】
　今回は面積関係を問う問題にしてみました。補助線が活躍するのはいつも通り。暗算での処理も可能です。思い思いの解法をお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\def\mytri#1{\triangle \mathrm{#1}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

ヒント内容の予告

  1. 全体方針
  2. ヒント1の続き
  3. その後の方針
  4. ヒント3の続き