金木犀の自作問題（2022/12/11）

Kinmokusei 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2022年12月11日0:58 正解数: 8 / 解答数: 8 (正答率: 100%) ギブアップ数: 0
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問題
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解説

解説では省略しているが，$\angle A=60°$ のとき，直線 $OH$ と $AB,AC$ との交点を $P,Q$ とすると $\triangle APQ$ は正三角形となる（これより解説1行目が導かれる）．
解答すべき値は $55^2+31=\bf{3056}$ である．

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一辺が $8$ である正三角形 $ABC$ の内接円と $AB,BC,CA$ との接点を $K,L,M$ とします。$\triangle ABC$ の外接円上の点 $P$ について、$PK^2+PL^2+PM^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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図の条件の下で、青で示した三角形の面積を求めてください。

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解答は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。

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$x^2$ の値を半角数字で解答してください．

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図の条件の下で、赤で示した線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

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問題文

図の条件の下で、緑で示した三角形の面積を求めてください。
なお、点 $I$ は直角三角形の内心です。

解答形式

解答は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。

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問題文

図の条件の下で、線分 $CG$ の長さを求めてください。
※図中の各線分の長さの比は正確とは限りません。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ によって $CG=\dfrac{a}{b}$ と表せるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。

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問題文

図の条件の下で、$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$ の値を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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問題文

図の条件の下で、緑の線分の長さ $x$ を求めてください。

解答形式

$x^2$ の値を半角数字で解答してください。

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問題文

図の条件の下で、青で示した線分の長さ $x$ を求めてください。
なお、図中の赤点（centroid）は三角形の重心です。

解答形式

$x^2$ は正整数になるので、この値を解答してください。

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問題文

図の条件の下で、赤で示した線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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問題文

図の条件の下で、青で示した線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

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正方形・正三角形・円が図のように配置されているとき、色を付けた角の角度の差（の絶対値）を解答してください。

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半角数字で0以上180未満の整数を解答してください。
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