$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち,以下の条件を満たすものを考えます.
このような並べ方のうち,横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか? ただし,回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します.また,$1\times 2$のタイルが横向きであるとは,長辺が行に平行であることを指します.
半角数字で入力してください.
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自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します. $$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
追記 =8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました 大変申し訳ありません
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。 ただし、OとHが一致する場合は除きます。
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。 $\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。
一辺の長さが $1$ の立方体 $1800$ 個から構成される,長さ $10,12,15$ の辺からなる直方体があります. このとき,直方体の対角線のうちの $1$ つについて,これが内部を通過する立方体の個数を求めてください.
ただし,立方体の内部とは,頂点や辺・面そのものを含まないものとして考えます.
求めるべき値は非負整数値として一意に定まるので,これを解答してください.
三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり,さらに,$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる.さらに,辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする. 三角形 $ADF$,四角形 $FGIH$,$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき,三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので,$a+b+c$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
$64$個の球 $a_0,a_1,...a_{63}$それぞれを白色と黒色で塗り分ける方法で、以下の条件を満たすものは何通りありますか
・任意の整数 $i,j$ $(0\leqq i\leqq7,0\leqq j\leqq4)$ に対し、 $\lbrace a_{8i+j},a_{8i+j+1},a_{8i+j+2},a_{8i+j+3}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個 かつ、 任意の整数 $k,l$ $(0\leqq k\leqq4,0\leqq l\leqq7)$ に対し、 $\lbrace a_{8k+l},a_{8k+l+8},a_{8k+l+16},a_{8k+l+24}\rbrace$ に含まれる白色の球と黒色の球が共に偶数個
半角数字で解答してください.
$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き,「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ,$2$ つの駒が同じマスに止まりました. このとき,最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください.
円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき,$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください.
扇形内部に図のように線を引きました。青い三角形の面積が12のとき、緑の三角形の面積を求めてください。
半角数字で解答してください。
円 $O_1$,円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており,円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので,その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします. $AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき,${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ の値を解答してください.
$S=\{1,2,3,4,5,6\}$ とします.$S$ の相異なる部分集合 $A,B,C$ の組であって,$A\subset B\subset C$ を満たすものの個数を求めてください. (ただし,$A,B,C$ は空集合や $S$ に一致してもよいものとします.)
$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$,辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし,$I_BI_C$ の中点を $M$ とする. $I_BI_C=14,BC=10$ のとき,$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください.
半角数字で解答してください
$4\times4$ のマス目の各マスに $3,2,6$ のいずれかを書き込む方法のうち,どの横の行に書かれた $4$ 数の積も立方数であり,どの縦の列に書かれた $4$ 数の積も立方数であるような書き込み方は何通りあるかを求めてください. ただし,回転や裏返しにより一致する書き込み方も異なるものとして数えるものとします.また,$3,2,6$ のうち使わない数があっても構いません.