除夜コン2023予選G3

問題文

$AB=20,CD=23,AD=12,BC=31$ を満たす四角形 $ABCD$ について，三角形 $ABD$ の内心を $I_1$ とし，三角形 $BCD$ の内心を $I_2$ とします．
$I_1I_2$ と $BD$ の交点を $X$ とすると $DX=\dfrac{12}{31}$ となったとき，$BX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2023$ や $1231$ のように $2$ と $3$ がこの順に連続して表れる $4$ 桁の正の整数(すなわち，$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数)の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

お笑いコンビ「さや香」の新山くんは以下のような「見せ算」という演算「$*$」を考案しました．

[見せ算の計算法]
$0$ 以上 $4$ 以下の整数 $a,b$ に対し，$a*b=\Bigg{\{}\begin{aligned}
0\ (a=bのとき) \\
a\ (a>bのとき) \\
b\ (a<bのとき)
\end{aligned}$

とし，$a*b$ を「 $a$ と $b$ の『眼』」と呼ぶ．

$0,1,2,3,4$ を $6$ 個ずつ左右一列に並べて得られる $M=\dfrac{30!}{({6!})^5}$ 通りの数列のうち，左に位置する $2$ 数を消し，その $2$ 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を $29$ 回繰り返した時，最後に $3$ が残るような $30$ 個の数の並べ方の総数を $N$ とします．このとき，$\dfrac{N}{M}$ は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表せるので，$p+q$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$8\times8$ のマス目に対し，上から $1$ 行目かつ左から $1$ 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き， 残りの $63$ マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を $1$ つずつ置きました．
このとき，「行もしくは列を $1$ つ選び，そこに置かれた $8$ つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ，すべての駒が黒を表にして置かれました．
このときの操作回数としてあり得る最小の値を $m$ とおくとき，操作回数が $m$ であって，最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ において，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ，$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました．
このとき，$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$5\times5$ のマス目の異なる $2$ つのマスにナイトの駒を $1$ つずつ置き，「ナイトの駒の動きに従って $2$ つの駒を同時に動かす」という操作を繰り返したところ，$2$ つの駒が同じマスに止まりました．
このとき，最初にナイトの駒を置いた $2$ マスの組み合わせとしてあり得るものの総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

円に内接する $8$ 角形 $ABCDEFGH$ が $\angle{A}=121^{\circ},\angle{B}=122^{\circ},\angle{C}=123^{\circ},\angle{D}=124^{\circ},\angle{E}=125^{\circ},\angle{F}=126^{\circ}$ を満たすとき，$\angle{G}$ の大きさを度数法で解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

実数列 $\lbrace a_n \rbrace_{n = 1, 2, \cdots 2024}$ が以下を満たしています.
・ $a_0 = 0$
・ $0 \leq a_n \leq n+1$
・ $a_{2024} = 2025$

このとき,
$$\sum_{n = 1}^{2024} \sqrt{{a_{n-1}}^2 + {a_{n}}^2 - a_{n-1}a_n - 2na_{n-1} + na_n + n^2}$$
には最小値が存在するため, 最小値を取るときの $a_{1000}$ の値を求めて下さい. ($a_{1000}$ の値は一意に定まります.)

解答形式

答えは, 互いに素な正整数 $a, b$ によって $\cfrac{b}{a}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

問題文

各文字が < か > であるような長さ $13$ の文字列 $S$ の内, 次の条件を満たす整数列 $a_1, a_2, \cdots a_{14}$ が一意に存在するようなものはいくつありますか？
・$S$ の $i$ 文字目が < ならば, $a_{i+1} = a_i + 1$
・$S$ の $i$ 文字目が > ならば, $a_{i+1} = a_i - 1$
・$1 \leq a_k \leq4 \ (k = 1, 2, \cdots, 14)$

解答形式

半角数字で解答して下さい.

問題文

実数 $a,b,c,d$ が $\dfrac{a^2+b^2+2bc+2ca}{c^2+2ab}=\dfrac{b^2+c^2+2ca+2ab}{a^2+2bc}=\dfrac{c^2+a^2+2ab+2bc}{b^2+2ca}=d$ を満たすとき，$d$ の値として考えられるものの総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

次の関数が $|x-a|\leqq 1$ のもとで負の値と素数の値域幅をとるとき，$\sqrt b$ の平均を求めよ．

• 二次関数 $y=f(x)$ のグラフは曲線 $y=x^2$ と接しつつ点 $(a,b)$ で対称となる．

解答形式

$100$ 倍した整数部分を半角数字で入力してください．

※　問題を一部修正しました．今後も手直しが続く可能性があります．