$728^{(729^{730})} + 730^{(729^{728})}$ は $3$ で最大何回割れますか.
半角数字で解答してください.
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あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており,以下を $2022$ 回繰り返します.
このとき,最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください.ただし,求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため,$a+b$ を解答してください.
凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします. $$ \begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases} $$ このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.
非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします. $$ x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002} $$ の最大値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます.$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して,スコアを $$ \sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k) $$ で定めます.$2024!$ 通りの並べ替えに対して,スコアとしてあり得る値はいくつありますか.
次の和を $10$ 進小数で表し、小数第 $61$ 位から第 $70$ 位までを求めよ。 $$ \sum_{n=1}^{9}\frac{n(10^{2n+1}-1)}{9\cdot10^{n^2+2n}} $$
小数第 $61$ 位から第 $70$ 位まで ($10$ 桁の数) を、半角で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
$\mathrm{AB=AC}$ の直角二等辺三角形 $\mathrm {ABC}$ がある。点 $\mathrm D$ を、直線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BC}$ が平行となるように取ったところ、$\mathrm{BD}=10,\mathrm{CD}=7$ であった。このとき $$\mathrm{AB}^4 + \mathrm{AD}^4 =\fbox{アイウエ}$$ である。ただし $\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。
ア〜エには、0から9までの数字が入る。 文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき,$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます.この二つの数列のスコアを $$ \sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k} $$ で定めます.数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが,これらの組におけるスコアの(相加)平均を求めてください.ただし,求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて,$\dfrac{p}{q}$ と表されるため,$p+q$ を解答してください.
△ABCの内心をI,∠A内の傍心をJとすると以下が成立した. BI=7, CI=15, IJ=25 このときBCの長さを解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
$2^{20}!!$ は $2$ で何回割り切れますか?
半角数字でお答え下さい。 計算機はご自由にお使いください。
凸四角形ABCDは内接円と外接円を持ち,AB=5, DC=3, AB//DCであった. ACの長さの2乗を解答してください.
AB=30, AC=36の△ABCがあり線分BC上にBDECの順に並びBD:DE:EC=1:5:3となるよう 点D,Eをとると,線分ABとACに接し点D,Eを通る円が存在した. このときBCの長さの2乗を解答してください.
四面体ABCDは以下を満たす. AB=AC=AD=13, BC=6, CD=8, BD=10 このとき四面体ABCDの体積を解答してください.