[A] 百の産声

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年7月5日21:00 正解数: 19 / 解答数: 24 (正答率: 79.2%) ギブアップ不可
数列 まそらた杯 代数
この問題はコンテスト「第3回まそらた杯」の問題です。

全 24 件

回答日時 問題 解答者 結果
2024年7月16日22:09 [A] 百の産声 adapchi
正解
2024年7月14日23:22 [A] 百の産声 nmoon
正解
2024年7月10日20:06 [A] 百の産声 Weskdohn
正解
2024年7月8日21:12 [A] 百の産声 aaabbb
正解
2024年7月8日10:49 [A] 百の産声 natsuneko
正解
2024年7月7日9:32 [A] 百の産声 MARTH
正解
2024年7月6日17:29 [A] 百の産声 tkg
正解
2024年7月6日17:28 [A] 百の産声 tkg
不正解 (0/1)
2024年7月6日13:41 [A] 百の産声 Rathalos
正解
2024年7月6日13:34 [A] 百の産声 Rathalos
不正解 (0/1)
2024年7月6日2:57 [A] 百の産声 okapin
正解
2024年7月6日2:55 [A] 百の産声 okapin
不正解 (0/1)
2024年7月6日2:53 [A] 百の産声 okapin
不正解 (0/1)
2024年7月6日0:33 [A] 百の産声 arararororo
正解
2024年7月5日22:37 [A] 百の産声 0y4d_1n4m
正解
2024年7月5日22:29 [A] 百の産声 bzuL
正解
2024年7月5日22:19 [A] 百の産声 Gin
正解
2024年7月5日22:16 [A] 百の産声 pomodor_ap
正解
2024年7月5日21:55 [A] 百の産声 uiui+
正解
2024年7月5日21:36 [A] 百の産声 326_math
正解
2024年7月5日21:36 [A] 百の産声 326_math
不正解 (0/1)
2024年7月5日21:27 [A] 百の産声 ofukufukufuku
正解
2024年7月5日21:20 [A] 百の産声 halphy
正解
2024年7月5日21:14 [A] 百の産声 Furina
正解

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16日前

18

問題文

$\mathrm{AB=AC}$ の直角二等辺三角形 $\mathrm {ABC}$ がある。点 $\mathrm D$ を、直線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BC}$ が平行となるように取ったところ、$\mathrm{BD}=10,\mathrm{CD}=7$ であった。このとき $$\mathrm{AB}^4 + \mathrm{AD}^4 =\fbox{アイウエ}$$ である。ただし $\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

解答形式

ア〜エには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

16日前

30

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。

このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。

解答形式

条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。


問題文

焼き鳥はタレに限るという垂川さんと、いやいや塩しかありえないという塩見さんは、激論の末、ゲームで決着をつけることになった。

$N,M$ をそれぞれ $1$ 以上 $2024$ 以下の整数とする。同じ大きさの焼き鳥が $N\times M$ の長方形状に並べられている。白と黒の串がたくさんある。垂川さんと塩見さんは、縦横いずれかの列または行を選んで、白または黒の串を端まで刺し通すという行動を、垂川さんから始めて交互に行う。ただし、各列または行にはそれぞれ $1$ 本の串しか刺し通すことができない。

合計 $N+M$ 本の串を刺し終わったとき、刺された串の色が縦と横で同じ焼き鳥の数を $S$、異なる焼き鳥の数を $D$ とする。$S>D$ ならば垂川さんの勝ち、$S<D$ なら塩見さんの勝ち、$S=D$ なら引き分けとする。

垂川さんの行動にかかわらず、うまく行動すれば塩見さんが必ず勝てるような組 $(N,M)$ はいくつあるか。

解答形式

条件を満たす組 $(N,M)$ の数を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

bMC_B

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
7日前

32

問題文

$728^{(729^{730})} + 730^{(729^{728})}$ は $3$ で最大何回割れますか.

解答形式

半角数字で解答してください.


問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

(1)$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

(2)極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

平方数

sdzzz 自動ジャッジ 難易度:
2月前

20

問題文

$n^4+4n^2-38n+69$ が平方数となるような正整数 $n$ の総和を求めてください.

解答形式

半角数字で入力してください.

bMC_C

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
7日前

31

問題文

凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします.
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

16日前

7

問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

約数の個数の方程式

kusu394 自動ジャッジ 難易度:
2月前

16

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

OMC不採用問題改題

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
7月前

25

問題文

$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき,$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます.この二つの数列のスコア
$$
\sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k}
$$
で定めます.数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが,これらの組におけるスコアの(相加)平均を求めてください.ただし,求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて,$\dfrac{p}{q}$ と表されるため,$p+q$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

bMC_A

bzuL 自動ジャッジ 難易度:
7日前

52

問題文

あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており,以下を $2022$ 回繰り返します.

  • 残っている人の中からランダムに(等しい確率で)二人を選ぶ.その後,二人が対戦し,どちらかがゲームから脱落する.参加者の実力は同じであるため,脱落する側は等しい確率で選ばれる.

このとき,最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください.ただし,求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため,$a+b$ を解答してください.

解答形式

半角数字で解答してください.

タイリング

J_Koizumi_144 自動ジャッジ 難易度:
6月前

23

問題文

$8\times 8$のマス目に$1\times 2$のタイルと$1\times 1$のタイルを隙間なく並べる方法のうち,以下の条件を満たすものを考えます.

  • どの行にも$1\times 1$のタイルがちょうど$1$つ含まれる.

このような並べ方のうち,横向きの$1\times 2$のタイルの個数が最大となるものは何通りありますか?
ただし,回転や裏返しによって一致する並べ方は区別します.また,$1\times 2$のタイルが横向きであるとは,長辺が行に平行であることを指します.

解答形式

半角数字で入力してください.