[C] ヤキトリ・ウォーズ

masorata 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 高校数学
2024年7月5日21:00 正解数: 8 / 解答数: 13 (正答率: 61.5%) ギブアップ不可
組み合わせ まそらた杯 ゲーム
この問題はコンテスト「第3回まそらた杯」の問題です。

問題文

焼き鳥はタレに限るという垂川さんと、いやいや塩しかありえないという塩見さんは、激論の末、ゲームで決着をつけることになった。

$N,M$ をそれぞれ $1$ 以上 $2024$ 以下の整数とする。同じ大きさの焼き鳥が $N\times M$ の長方形状に並べられている。白と黒の串がたくさんある。垂川さんと塩見さんは、縦横いずれかの列または行を選んで、白または黒の串を端まで刺し通すという行動を、垂川さんから始めて交互に行う。ただし、各列または行にはそれぞれ $1$ 本の串しか刺し通すことができない。

合計 $N+M$ 本の串を刺し終わったとき、刺された串の色が縦と横で同じ焼き鳥の数を $S$、異なる焼き鳥の数を $D$ とする。$S>D$ ならば垂川さんの勝ち、$S<D$ なら塩見さんの勝ち、$S=D$ なら引き分けとする。

垂川さんの行動にかかわらず、うまく行動すれば塩見さんが必ず勝てるような組 $(N,M)$ はいくつあるか。

解答形式

条件を満たす組 $(N,M)$ の数を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。


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問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。


問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

(1)$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

(2)極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
(1)の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
(2)の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

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$\mathrm{AB=AC}$ の直角二等辺三角形 $\mathrm {ABC}$ がある。点 $\mathrm D$ を、直線 $\mathrm{AD}$ と $\mathrm{BC}$ が平行となるように取ったところ、$\mathrm{BD}=10,\mathrm{CD}=7$ であった。このとき $$\mathrm{AB}^4 + \mathrm{AD}^4 =\fbox{アイウエ}$$ である。ただし $\mathrm{XY}$ で線分 $\mathrm{XY}$ の長さを表すものとする。

解答形式

ア〜エには、0から9までの数字が入る。
文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

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$n$ を $3$ 以上の整数とする。はじめ、黒板には $n-1$ 個の有理数 $\displaystyle \frac{1}{2}, \frac{1}{3},\ldots, \frac{1}{n} $ が書かれている。黒板から $2$ つの有理数 $x,y$ を選んで消し、新たに有理数 $\displaystyle \frac{x+y}{1+xy} $ を書くという操作を繰り返し行う。そして、最後に黒板に残った $1$ つの有理数を既約分数として表すと、分子が $899$ で割り切れた。

このようなことが起こる最小の $n$ を求めよ。

解答形式

条件を満たす $n$ の最小値を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

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次の和を $10$ 進小数で表し、小数第 $61$ 位から第 $70$ 位までを求めよ。
$$
\sum_{n=1}^{9}\frac{n(10^{2n+1}-1)}{9\cdot10^{n^2+2n}}
$$

解答形式

小数第 $61$ 位から第 $70$ 位まで ($10$ 桁の数) を、半角で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

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ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.

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半角数字で解答してください.

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半角数字で入力してください。

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$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$,外心を $O$ とする.直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし,直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると,以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.

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正$n$角形の対角線の本数が素数になるような自然数$n$を全て求めてください。

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$n$としてあり得る数を半角で小さい順に1列に1つずつ縦に解答してください。
例:2,3と答えたい時
2
3
と解答してください。

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凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします.
$$
\begin{cases}
AB=BC=CD=DE \\\\
2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\
2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ}
\end{cases}
$$
このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.

解答形式

半角数字で解答してください.

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問題文

$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して,スコア
$$
\sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k)
$$
で定めます.$2024!$ 通りの並べ替えに対して,スコアとしてあり得る値はいくつありますか.

解答形式

半角数字で解答してください.

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凸四角形$ABCD$は$\angle{BAC}$$=$$12^\circ$$,$$\angle {CAD}$$=$$30^\circ$$,$$\angle{ACD}$$=$$24^\circ$$,$$AB=CD$を満たします.このとき、$\angle{ADB}$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$度となるので、積$ab$の値を求めてください.

解答形式

半角数字で解答してください.