$1,\ldots,2024$ の並べ替え $a_1,\ldots,a_{2024}$ に対して,スコアを $$ \sum_{k=1}^{2024} (2024a_k-k-1)(a_k-2024k) $$ で定めます.$2024!$ 通りの並べ替えに対して,スコアとしてあり得る値はいくつありますか.
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$10$ 進数での桁和が $2500$ となる正整数であって, $2024$ の倍数となるものうち,最小のものを $M$ とします.$M$ を $10$ 進表記したときの $10^{k-1}$ の位の値を $M_k$ としたとき,$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積を $10000000$ で割った余りを答えてください. ただし,以下の $10^n$ を $2024$ で割った余りに関する表を用いて構いません.
$$ \begin{array}{c:ccccccccc} n & 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline 10^n\pmod{2024} &1000 & 1904 &824& 144 & 1440& 232& 296 \end{array}\\\\ \begin{array}{ccccccccc} 10 & 11& 12 & 13 &14 & 15 & 16 & 17 & 18\\ \hline 936& 1264 & 496 &912 & 1024 &120 &1200 & 1880 & 584 \end{array}\\\\ \begin{array}{ccccccccc} 19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 &25\\ \hline 1792 & 1728 & 1088 & 760 & 1528 & 1112 & 1000 \end{array} $$
半角数字で解答してください. たとえば $M=9876543210$ であれば,$M_1=0,M_2=1,\ldots,M_{10}=9$ となるため,$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積は $2 \times \cdots \times 9= 362880$ となります.
凸五角形 $ABCDE$ は以下を満たします. $$ \begin{cases} AB=BC=CD=DE \\\\ 2\angle{BAE} = \angle{CBA}\\\\ 2\angle{ECA} = \angle{AEC} = \angle{BAE} + 30^{\circ} \end{cases} $$ このとき,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\angle{EDB}=\bigg(\dfrac{a}{b}\bigg)^{\circ}$と表すことができるので,$a+b$ を答えてください.
$728^{(729^{730})} + 730^{(729^{728})}$ は $3$ で最大何回割れますか.
あるサバイバルゲームには $2024$ 人の人が参加しており,以下を $2022$ 回繰り返します.
このとき,最後に残った二人に一度も対戦をしていない人が含まれる確率を求めてください.ただし,求める確率は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるため,$a+b$ を解答してください.
$14^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を $a_1,\ldots,a_{16}$ とおき,$15^3$ の $16$ 個の正の約数を並び替えた数列を$b_1,\ldots,b_{16}$ とおきます.この二つの数列のスコアを $$ \sum_{k=1}^{16} \frac{a_k}{b_k} $$ で定めます.数列 $a,b$ の組として考えられるものは $(16!)^2$ 通りありますが,これらの組におけるスコアの(相加)平均を求めてください.ただし,求める値は互いに素な正整数 $p,q$ を用いて,$\dfrac{p}{q}$ と表されるため,$p+q$ を解答してください.
$f(n)=n ^{15}+21n^{10}+147n^5+343$ とします. 正整数 $n$ に対して, $f(n)$ が $5^m$ で割り切れるような最大の非負整数 $m$ を $g(n)$ と定めます.$10000$ 以下の正整数 $k $であって $g(n)=k $ を満たす正整数 $n$ が存在するような $k$ の総積を $3343$ で割った余りを解答してください.ただし,$3343$ は素数です.
非負整数を解答してください.
三角形 $ABC$ の外接円を $\Gamma$ とします.辺 $BC$ 上に点 $X$ をとります.$B,X$ を通り,$\Gamma$ と接する円を $\Omega_1$ とし,$C,X$ を通り,$\Gamma$ と接する円を $\Omega_2$ とします.$\Omega_1$ と $\Omega_2$ は二点で交わっており,$X$ でない方の交点を $Y$ とします.直線 $XY$ は点 $A$ を通り,線分 $XC$ の垂直二等分線も点 $A$ を通りました. $$BX = 4,CX=1$$を満たす時,三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください.ただし,求める値は互いに素な二つの正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるので,$a+b$ を解答してください.
非負整数を半角で入力してください.
$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。
条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。
条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。 2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。
ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.
非負実数 $x,y,z$ が $x+y+z=1$ を満たすとします. $$ x^{5001}y^{5002} + y^{5001}z^{5002} +z^{5001}x^{5002} $$ の最大値は,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができます.$a+b$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください. $$(a_1a_2)^3+(a_2a_3)^3+(a_3a_4)^3+(a_4a_5)^3+(a_5a_1)^3\equiv0\pmod{7}$$
外心をOとする△ABCがあり線分BC上に点Dをおくと以下が成立した. AD=CD, BD-CD=15, OB=24, OD=9 このときABの長さを解答してください.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.