平方数

問題文

実数 $x,y$ が $\bigg\{\begin{aligned}
20x+12y=20 \\
23x+31y=24
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$2023x+1231y$ の値を求めて下さい．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

素数 $p,q$ が
$$4^p+2^p+1=p^2q$$を満たします. このようなすべての組 $(p,q)$ に対して, $p+q$ の総和を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

正の実数$x,y,z$が$$(x+1)y^2=(x−1)z^2=\frac{3}{5}xyz$$
を満たすとき、
$$\frac{z}{y}=？$$

解答形式

例）？に入る数値を入力してください。

問題文

整数$x, y, z$は$0<x<28,0<y, 0\leq z<20$ と $37x-13y=2z$ を共に満たします。このような整数の組$(x,y,z)$はいくつあるでしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

三角形 $ABC$ があり，外心を $O$ とした時以下が成り立ちました．
$$
AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5
$$
この時，三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$$
x+ \frac{1}{x} =-1
$$
のとき以下の値を求めよ
$$
\sum_{k=1}^{m^{3}-7m+9}(x^{k}+\frac{1}{x^{k}}) \quad
$$
ただしmは自然数である。

問題文

$12$桁の整数$111111111111$の素因数の総和を求めてください.
但し,素因数の１つとして４桁の素数が含まれます.

解答形式

整数で答えてください.

問題文

$1$ 以上 $100000$ 以下の整数から無作為に1つ選ぶとき,全ての桁の数がそれぞれ素数になる確率は，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せます．$a+b$ を解答してください．

例えば，$23$ は各桁の数が $2$ と $3$ で，これは全ての桁の数が素数になります．
$17$ は各桁の数が $1$ と $7$ ですが，$1$ は素数ではないので全ての桁の数が素数にはなりません．

回答形式

非負整数を半角で回答してください。

問題文を一部変更しましたが答える内容は変わっていません。

問題文

正$n$角形の対角線の本数が素数になるような自然数$n$を全て求めてください。

解答形式

$n$としてあり得る数を半角で小さい順に1列に1つずつ縦に解答してください。
例:2,3と答えたい時
2
3
と解答してください。

問題文

次の方程式の整数解を求めよ。
ただし、$p, q$は非負整数である。
$$
x^2-15x+3^p-2^q=0
$$

解答形式

半角数字で小さい順につなげて入力してください。
例　$x=-4,-1,0,3,4$の時　-4-1034

問題文

$\frac{n}{144}$が$1$より小さい既約分数になるような自然数$n$の個数を求めよ。

解答形式

半角算用数字で答えてください。

問題文

$AB=5, AC=7$の三角形$ABC$があり重心を$G$，内心を$I$とすると$BC //GI $であった. このとき三角形$ABC$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．