以下の式の ( 10 進法における) 桁和を求めなさい.4+99∑k=0(500+(−1)k×513)×10k
非負整数で回答して下さい.
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1 以上の整数 n について関数 f(n) は以下の式により定義されます.f(n)=2n∑k=129∏m=0(k−m) このとき,f(n)=0 の成り立つ n の総和は,素数 p と整数 m を用いて,pm と示せるので,p+m の最小値を回答してください. ただし,素数表:https://onlinemathcontest.com/primes は用いても構いません.
非負整数で回答してください.
鋭角三角形 ABC の垂心を H,外心を O とし,A から BC に下ろした垂線の足を D とします. OH=3,AH:HD=7:2 であり,△ABC の外接円半径が 5 であるとき,OD2 の値は互いに素な正の整数 a,b を用いて ab と表せるので,a+b の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
鋭角三角形 ABC に対し,重心と垂心をそれぞれ G,H とし,直線 GH と辺 AB,AC との交点をそれぞれ D,E とし,直線 AH と辺 BC の交点を F としたところ,DH:HG=4:3,BF:FC=3:7 となりました. AD2:AE2 は互いに素な正の整数 a,b を用いて a:b と表されるので,a+b の値を求めてください.
∠A=60∘ なる三角形 ABC の内心を I,外心を O とする.直線 IO と直線 BC の交点を D とし,直線 AD と三角形 ABC の外接円との交点を E(≠A) とすると,以下が成立した:
EI=23,IO=18
このとき,線分 AI の長さは,互いに素な正整数 a,b を用いてab と表されるので,a+b を解答してください.
こちらも問題に不備があったため、数値設定を変更いたしました。不備が重なってしまいたいへん申し訳ありません。
正六角形 ABCDEF の線分 AC,BC,DE 上にそれぞれ点 P,Q,R を取ったところ, PQ⊥BC,PR⊥DE,∠QAR=60∘ が成立しました. また, 三角形 APQ の外心を O, 三角形 APR の外心を O′ とし, 三角形 AOO′ の外接円と三角形 APQ の外接円の交点を X(≠A), 三角形AOO′ の外接円 と三角形 APR の外接円の交点を Y(≠A) とすると, BY=7 が成立しました. このとき, 線分 DX の長さを求めて下さい.
答えは最大公約数が 1 である正整数 a,b,c によって √b−ca と表されるため, a+b+c の値を半角数字で解答してください.
【補助線主体の図形問題 #115】 今週の図形問題です。今回は重めの問題にしてみました。とはいえ、補助線が活躍するのはいつも通りです。じっくり腰を据えて挑戦してください!
解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。 (例) 12cm → 12.00 10√2cm → 14.14 1+√52cm → 1.62 入力を一意に定めるための処置です。 たとえば答えに無理数を含む場合、√2=1.41やπ=3.14などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。 近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
三角形 ABC の辺 AB,AC 上に BC∥DE となるよう D,E をとり,さらに,D,F,G,E がこの順に並ぶように点 F,G を線分 DE 上にとる.さらに,辺 BC と直線 AF,AG との交点をそれぞれ H,I とする. 三角形 ADF,四角形 FGIH,AEG の面積がそれぞれ 3,5,8 であるとき,三角形 ABC の面積の最小値は正の整数 a,b および平方因子をもたない正の整数 c を用いて a+b√c と表せるので,a+b+c の値を解答してください.
【補助線主体の図形問題 #109】 今週の図形問題です。今回はシンプルな見た目だけに、補助線が大いに活躍します。その分というわけではありませんが、計算は重めです。ぜひじっくりとお楽しみください。
西暦2024年問題第6弾です。いよいよ整数問題のお出ましとなりました。ある程度は手を動かす必要がありますが、あることに気づけば調べる候補をぐっと減らすことができます。約数の個数を求めるのが面倒な方はWolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com なども併用して構いません。
解答は求めるnの最小値をそのまま入力してください。 (例)n=2106 → 2106
ある三角形の内心を中心とする半径 2024 の円が,その三角形の頂点のうちの一つと,その三角形の外心,垂心を通りました.この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください.
p,qを素数、nを整数とします。 p4+2q2−2n=635 を満たすp,q,nの組(p,q,n)を全て求めてください。
p+q+nの値の総和を半角で解答してください。
九点円中心をNとする鋭角三角形ABCにおいて,BNとACの交点をP,CNとABの交点をQとする.直線ACに関してBと対称な点をB′,直線ABに関してCと対称な点をC′とし,B′QとC′Pの交点をXとするとき,以下が成立しました.∠BAX=∠NAX tan∠ACB=56 AB=10このとき,三角形ABCの面積を求めて下さい.
半角で解答して下さい.