2024年

問題文

一辺の長さが $12$ の正方形 $ABCE$ の外部に点 $D$ を、三角形 $CDE$ が正三角形になるようにとります。
正方形 $ABCE$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とするとき、$AF^2$ の値を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

正整数 $x, y$ が
$$x^{11}y^{10} = 2^{(2^{1110})} \cdot 3^{(3^{1110})} \cdot 5^{(5^{1110})} \cdot 37^{(37^{1110})} \cdot 1110$$
をみたすとき，$x$ のとり得る最小の値を求めて下さい．

解答形式

半角英数にし、答えとなる正整数値を入力し解答して下さい．

余談

OMCB020-E(URL : https://onlinemathcontest.com/contests/omcb020/tasks/9732)
のアレンジ，というよりかはこのコンテストのTester期間中に運営さんに改題を提案したときの問題です．
4bにそぐわないとしてOMCへの使用には至りませんでしたが，せっかくなのでよければ解いてみてください．

問題文

中心が$O$の円と線分$AB$の二つの交点のうち$A$から近い順に$C,D$とすると
$BO=11，CO=7，AC=CD=DB$ であった.
このとき三角形$ABO$の面積の$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

自然数 $x$ に対して, $d(x)$ で $x$ の正の約数の個数を表します.
$$d(4n-1)+d(4n)=8$$ を満たす自然数 $n$ について, 小さいほうから $7$ 個の総和を求めてください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

追記
=8 のところ =6 と書いてしまっていたため訂正しました
大変申し訳ありません

問題文

$A$ さんを含む $10$ 人の選手がゲームの格ゲー大会総当たり形式で行いました．
　$A$ さん以外の $9$ 人の選手は以下の条件を満たしているとき， $A$ さんの勝利した回数としてあり得るものの総和を求めてください．
　しかし，引き分けは考えないものとします．

• $9$ 勝 $0$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
• $7$ 勝 $2$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．
• $6$ 勝 $3$ 敗の選手がちょうど $3$ 人いる．
• $2$ 勝 $7$ 敗の選手がちょうど $3$ 人いる．
• $0$ 勝 $9$ 敗の選手がちょうど $1$ 人いる．

解答形式

非負整数を半角数字で答えてください．

問題文

$0$ でない相異なる実数 $a,b,c,d$ が以下の関係式を満たすとき，$a^2+b^2+c^2+d^2$ の値を求めてください．
$\begin{cases}
a^3-12a^2-34a+bcd=0\\
b^3-12b^2-34b+cda=0\\
c^3-12c^2-34c+dab=0\\
d^3-12d^2-34d+abc=0\\
\end{cases}$

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

自然数a b c について
abc-ab-a=17
a<b<c
となる自然数のa b c の組の数を答えなさい

解答形式

半角数字で答えてください

問題文

$AB=30，AC=36$の三角形$ABC$があり線分$BC$上に$BDEC$の順に並び$BD:DE:EC=1:5:3$となるよう
点$D，E$をとると，線分$AB$と$AC$に接し点$D，E$を通る円が存在した.
このとき$BC$の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

（ https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13）
　三角形$ABC$において外接円，内接円，角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると

$$R=14,r=6,r_A=19$$

が成り立ちました．このとき$BC$の長さの二乗を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

$A,B$を全ての要素が$2$以上$2024$以下の自然数からなる集合で$A$と$B$の和集合の要素数が$2023$個であるものとします。$A,B$から要素を自由に$1$つずつ選ぶとき、どのように要素を選んでもその$2$つの数の最大公約数が$1$になるような$A,B$の組$(A,B)$の個数を求めてください。ただし、必要ならインターネットにある素数表を検索して用いても構いません。また、空集合も条件を満たすものとしてください。

問題を少し変更いたしました。

解答形式

答えは正の整数$n$を用いて$2^n$と表せますから$n$を半角で1行目に入力してください。

問題文

下図は、直角二等辺三角形と正三角形と頂角が150°の二等辺三角形を組み合わせた図形です。直角二等辺三角形の面積が24㎠のとき、図形全体の面積を求めなさい。

解答形式

単位は㎠（単位は書かなくてよい）、数字は半角で入力してください。
例）10

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ