正方形と円の接線

問題文

$\angle ABC $ と $\angle BCA$ が鋭角であるような $\triangle ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．また，$M$ から辺 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $P, Q$ とすると、線分 $AM, BQ, CP$ が一点で交わります．

$$ AB = 12, \ \ BC= 20 $$

のとき，$\triangle ABC$ の面積の二乗としてありうる値の総和を解答してください。

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

半円と四分円を組み合わせた図のような図形があります。青い線分の長さが$\sqrt 6$のとき、赤い線分の長さを求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$AB=AC$なる鋭角二等辺三角形$ABC$において$AB$,$BC$の中点をそれぞれ$M$,$N$とし、$MC$の垂直二等分線と$AN$の交点を$P$とします。$\triangle ABC$の面積は$15$であり、$AP:PN=4:1$であるとき、$BC^4$を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

△ABCの内心をI、△ABCの外接円とAIの交点をL(≠A)、AB上にD(≠A,B)をとったとき以下が成立しました。$$LI=LD,AI=4,AD=5,BL=8$$DBの長さを解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

半円と平行四辺形が図のように配置されています。赤い三角形の面積が3のとき、青い線分の長さを求めてください。

※平行四辺形の一辺と半円は接する。

解答形式

$$x=\fbox{ア}\sqrt{\fbox{イウ}-\fbox エ\sqrt{\fbox オ}}$$と表せるので、文字列 アイウエオ を解答してください。ただし、$\fbox ア～\fbox オ$には0以上9以下の整数が入ります。

問題文

$a + b + c = 999$ かつ $a \le b \le c$ を満たす正整数の組 $(a, b, c)$ であって，
$2^a, 2^b, 2^c$ が非退化な三角形の三辺の長さとなるものは何通りありますか．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

三角形 $ABC$ において，$A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足を $D,E,F$ とし，三角形 $ABC$ の垂心を $H$ としたところ，$DE=9,DF=8,DH=7$ となりました．
このとき，$AH$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB>AC$なる鋭角三角形$ABC$において, $C$から$AB $に下ろした垂線の足を$D$, $BC$の中点を$M$, $AM$と$CD$の交点を$E$とし, 円$BDM$と$CD$の交点のうち$D$ではない方を$F$, 円$CDM$と$AM$の交点のうち$M$ではない方を$G$とします. $CD=32$, $DM=20$, $EF=5$であるとき, $FG$の長さの$2$乗を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください.

問題文

三角形ABCとその辺AB上にある点Dと辺CA上にある点Eが次の二つの条件を満たしている．（ただし、点D,Eは点Aとは一致しない）
　（Ⅰ）AB=13,BC=14,CA=15
　（Ⅱ）4点B,C,E,Dは共円
　このとき、「点Aを通りDEに垂直な直線」と、線分BCの交点をFとする．
　BFの長さを求めよ．

解答形式

例）この答えは、互いに素な自然数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と書けるので、$a$+$b$の値を答えてください．

問題文

正三角形 $ ABC$ の辺 $AB,BC,CA$ 上にそれぞれ点 $P,Q,R$ があり，
$$PQ=3,\ \ \ \ QR=5,\ \ \ \ RP=7,\ \ \ \ AB=9$$ を満たしています．このとき，線分 $AQ$ の長さは互いに素な整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle \frac{a}{b}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

四角形 $ABCD$ について，線分 $BD$ 上に点 $E$ を取ると，$AE=BD$ で，角 $EAD=$ 角 $AED=$ 角 $EBC=$ 角 $BCE=40°$ が成り立ちました．このとき角 $BDC$ は何度ですか？

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

(2021.3.13 15:56 追記)　解答に誤りがあったため修正しました。

次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。

解答形式

半角数字で解答してください。