三角形 ABC の垂心を H とし、AH と BC の交点を D、BC の中点を M とすると、B,D,M,C がこの順に並びました。AH を直径とする円と AM の交点のうち A でない方を X とすると、∠CXM=∠BAM でした。BD=23,DM=42 のとき、三角形 ABC の面積を解答してください。
AB:AC=5:3 を満たす鋭角三角形 ABC があり, 線分 AB 上の点 X と線分 AC 上の点 Y がXY∥BC を満たしています. また, 三角形 AYB の外接円と三角形 AXC の外接円の交点のうち, A でない方を P とすると, P は線分 BC 上にありました. このとき, 三角形 ABC の外接円と直線 AP の交点のうち, A でない方を Q とし, 直線 AP と線分 BC の垂直二等分線の交点を R とします. また, 線分 PR を直径とする円と三角形 ABC の外接円は 2 点 S,T で交わり, 直線 ST と直線 PQ の交点を U とすると, PU=QU=5 となりました. このとき, 線分 AR の長さを求めて下さい. ただし, 答えは正整数 a,b を用いて a+√b と表されるため, a+b の値を解答して下さい.
AB=13,BC=14,CA=15 を満たす三角形 ABC において、外心を O、辺 AB の中点を M、辺 AC の中点を N、A から辺 BC に下ろした垂線の足を D とします。また、円 DMN と AD の交点を X、MN について X と対称な点を Y とします。このとき四角形 BCOY の面積を求めてください。
円 ω 上に相異なる 2 点 A,B がある.ただし,弦 AB は ω の直径ではない.A,B における ω の接線をそれぞれ l,m とする.劣弧 AB 上(端点を除く)に点 P をとり,P を通り l に平行な直線と ω の交点であって,P でないものを C とし,P を通り m に平行な直線と ω の交点であって,P でないものを D とする.l と直線 BC の交点を E,m と線分 AD の交点を F とする.また,線分 AF と線分 BE の交点を X,線分 CF と線分 DE の交点を Y とする.AB=√69,AC=3,BD=6 がそれぞれ成り立っているとき,線分 XY の長さは,互いに素な正整数 a,c および平方因子を持たない 2 以上の整数 b を用いて a√bc と表されるので,a+b+c の値を求めよ.