400G

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OMC没問3

natsuneko 自動ジャッジ難易度:

初等幾何

20月前

4

問題文

$AB:AC=5:3$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ があり, 線分 $AB$ 上の点 $X$ と線分 $AC$ 上の点 $Y$ が $XY∥BC$ を満たしています. また, 三角形 $AYB$ の外接円と三角形 $AXC$ の外接円の交点のうち, $A$ でない方を $P$ とすると, $P$ は線分 $BC$ 上にありました. このとき, 三角形 $ABC$ の外接円と直線 $AP$ の交点のうち, $A$ でない方を $Q$ とし, 直線 $AP$ と線分 $BC$ の垂直二等分線の交点を $R$ とします. また, 線分 $PR$ を直径とする円と三角形 $ABC$ の外接円は $2$ 点 $S,T$ で交わり, 直線 $ST$ と直線 $PQ$ の交点を $U$ とすると, $PU=QU=5$ となりました. このとき, 線分 $AR$ の長さを求めて下さい. ただし, 答えは正整数 $a,b$ を用いて $a + \sqrt{b}$ と表されるため, $a+b$ の値を解答して下さい.

解答形式

正整数値を解答して下さい.

poino 自動ジャッジ難易度:

13月前

9

問題文

$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たす三角形 $ABC$ において、外心を $O$ 、辺 $AB$ の中点を $M$ 、辺 $AC$ の中点を $N$ 、 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします。また、円 $DMN$ と $AD$ の交点を $X$ 、 $MN$ について $X$ と対称な点を $Y$ とします。このとき四角形 $BCOY$ の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。

5つの辺の長さが等しい図形の求角

Fuji495616 自動ジャッジ難易度:

15月前

7

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、 $∠$ EAB=80°、 $∠$ ABC=40°です。
$∠$ FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

不採用幾何

sdzzz 自動ジャッジ難易度:

12月前

10

問題文

三角形 $ABC$ があり，外心を $O$ とした時以下が成り立ちました．
$AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5$
この時，三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

F

Furina 自動ジャッジ難易度:

13月前

12

問題文

$AB<AC$ なる三角形 $ABC$ について， $\angle A$ (内角) の二等分線と $BC$ ，円 $ABC$ の交点をそれぞれ $D, M(\neq A)$ ， $A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $E$ ， $AC$ の中点を $N$ ，円 $ENC$ と円 $ABC$ の交点を $X(\neq C)$ ，円 $XMD$ と $BC$ の交点を $P(\neq D)$ ， $PM$ の中点を $Q$ とします．
$AB=9,　AC=14,　QN=8$
であるとき， $BC$ の長さは正整数 $a, b, c$ を用いて $\dfrac{a\sqrt b}{c}$ と表せるので， $a+b+c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

100G

poino 自動ジャッジ難易度:

13月前

17

問題文

一辺の長さが $12$ の正方形 $ABCE$ の外部に点 $D$ を、三角形 $CDE$ が正三角形になるようにとります。
正方形 $ABCE$ の外接円と直線 $DE$ の交点のうち $E$ でない方を $F$ とするとき、 $AF^2$ の値を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

座王001(サドンデス4)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

11

問題文

$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$ ，辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし， $I_BI_C$ の中点を $M$ とする．
$I_BI_C=14,BC=10$ のとき， $\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください

幾何問題11/22

miq_39 自動ジャッジ難易度:

初等幾何円悪問

20月前

9

問題文

円 $\omega$ 上に相異なる $2$ 点 $A,B$ がある．ただし，弦 $AB$ は $\omega$ の直径ではない． $A,B$ における $\omega$ の接線をそれぞれ $l,m$ とする．劣弧 $AB$ 上（端点を除く）に点 $P$ をとり， $P$ を通り $l$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって， $P$ でないものを $C$ とし， $P$ を通り $m$ に平行な直線と $\omega$ の交点であって， $P$ でないものを $D$ とする． $l$ と直線 $BC$ の交点を $E$ ， $m$ と線分 $AD$ の交点を $F$ とする．また，線分 $AF$ と線分 $BE$ の交点を $X$ ，線分 $CF$ と線分 $DE$ の交点を $Y$ とする． $AB=\sqrt{69}$ ， $AC=3$ ， $BD=6$ がそれぞれ成り立っているとき，線分 $XY$ の長さは，互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない $2$ 以上の整数 $b$ を用いて $\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$ と表されるので， $a+b+c$ の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

B

natsuneko 自動ジャッジ難易度:

初等幾何

17月前

30

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 線分 $BC$ 上に点 $D$ を取り, 三角形 $ABD$ の垂心を $H_1$ , 三角形 $ADC$ の垂心を $H_2$ とします. すると, $BD = DC = H_1 H_2 = 10$ , $H_1 D : H_2 D = 2 : \sqrt{10}$ が成立しました. このとき, 三角形 $ABC$ の面積としてあり得る値の総積を解答してください.

解答形式

答えは正整数になるため, その値を半角数字で解答してください.

座王001(G2)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

13

問題文

$\triangle{ABC}$ の外接円を $O_1$ とし，辺 $CA$ ，辺 $CB$ ，円 $O_1$ に接する円を $O_2$ とします．また，円 $O_2$ と辺 $CA$ ，辺 $CB$ ，円 $O_1$ の接点をそれぞれ $P,Q,T$ とし，直線 $TP$ と円 $O_1$ の交点を ${R}(\ne{T})$ とし，直線 $TQ$ と円 $O_1$ の交点を $S(\ne{T})とします．$
$TA=23,TB=35,TC=57$ のとき，(四角形 $ARCS$ の面積):(四角形 $BSCR$ の面積)は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

QMT001(自作問題2問目)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

12

問題文

直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き， $A$ を通る直線 $m$ と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします．
また， $\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$ ，直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします．
$BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき， $\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると， $S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

QMT002(自作問題2問目)

shoko_math 自動ジャッジ難易度:

初等幾何競技数学

16月前

18

問題文

円 $O_1$ ，円 $O_2$ が点 $P$ で外接しており，円 $O_1$ 上の点 $Q$ における円 $O_1$ の接線を引いたところ円 $O_2$ と異なる $2$ 点で交わったので，その $2$ 交点を $Q$ に近い方から順に $A,B$ とします．
$AP=4,AB=6,BP=9$ となったとき， ${PQ}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

400G

問題文

解答形式

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解答提出

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