200G

問題文

$\triangle{ABC}$ の辺 $AC$ に接する傍接円の中心を $I_B$，辺 $AB$ に接する傍接円の中心を $I_C$ とし，$I_BI_C$ の中点を $M$ とする．
$I_BI_C=14,BC=10$ のとき，$\triangle{MBC}$ の面積を $2$ 乗した値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください

問題文

四角形 $ABCD$ があり，以下を満たしています：

$$
\angle B + \angle C = 120^{\circ} ,　\angle D = \angle B + 30^{\circ} ,　AB = CD = 7 ,　BC = 13 .
$$

このとき，辺 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ があり，外心を $O$ とした時以下が成り立ちました．
$$
AB+AC=2BC,\quad AB\times AC=24,\quad AO=5
$$
この時，三角形 $ABC$ の内接円の半径の値を求めてください．ただし求める値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

下図で、AB=AF=BC=CD=EB、$∠$EAB=80°、$∠$ABC=40°です。
$∠$FDEの大きさは何度ですか。

解答形式

半角数字で入力してください。
例）10

問題文

直線 $AT$ に点 $T$ で接する円 $\Gamma$ を描き，$A$ を通る直線 $m$と円 $\Gamma$ の交点を $A$ に近い方から順に $B,C$ とします．
また，$\angle{CAT}$ の二等分線と直線 $BT$，直線 $CT$ の交点をそれぞれ $D,E$ とします．
$BD=4,DE=8,EC=9$ となったとき，$\triangle{TBC}$ の面積を $S$ とすると，$S^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

中心がOの円と線分ABの二つの交点のうちAから近い順にC,Dとすると
BO=11, CO=7, AC=CD=DB であった.
このとき△ABOの面積の2乗を解答してください.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，外心を $O$ とし，$A$ から $BC$ に下ろした垂線の足を $D$ とします．
$OH=3,AH:HD=7:2$ であり，$\triangle{ABC}$ の外接円半径が $5$ であるとき，${OD}^2$ の値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり，さらに，$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる．さらに，辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする．
三角形 $ADF$，四角形 $FGIH$，$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき，三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので，$a+b+c$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

$0$ 以上 $6$ 以下の整数からなる組 $(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)$ のうち以下を満たすものの個数を求めてください.
$$(a_1a_2)^3+(a_2a_3)^3+(a_3a_4)^3+(a_4a_5)^3+(a_5a_1)^3\equiv0\pmod{7}$$

直方体 $ABCD-EFGH$があり, $AB=\sqrt{2},AD=2023\sqrt{2},AE=2024\sqrt{2}$ です. 三角形 $BDE$ の面積を求めてください.

問題文

$∠BAC=30°$、$BC =3$である$△ABC $について、$AB$の最大値を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

$\angle{A} = 60^{\circ}$ なる三角形 $ABC$ の内心を $I$，外心を $O$ とする．直線 $IO$ と直線 $BC$ の交点を $D$ とし，直線 $AD$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点を $E(\not = A)$ とすると，以下が成立した:

$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき，線分 $AI$ の長さは，互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a + b$ を解答してください．