Q3.素数

$自然数Xについて、Xの各位の数字を足し合わせた値をk(X)とおく。$
$4桁の自然数A,Bにおいて$$$
\begin{eqnarray}
\frac{k(A)}{k(B)}=\frac{A}{B}=n
\end{eqnarray}
$$$ (nは2以上の整数)$
$のとき、Aの取りうる値は何個あるか。$
半角数字のみで答えよ

$
a!=b^{2}+2となる自然数a,整数bについて、
$
$
k(a,b)=a+bとおく。
$
$
k(a,b) の値として考えられるものは何個あるか。
$

問題文

$AB=5,AC=9$ なる三角形 $ABC$ があり，その外接円を $\Gamma$ とします．辺 $BC$ の中点を $D$ とすると，$B$ における $\Gamma$ の接線と半直線 $DA$ が点 $E$ で交わりました．また，辺 $AC$ 上の点 $F$ が $\angle CDF=\angle BEA$ をみたしています．$DF=\dfrac{10}{3}$ のとき，線分 $AE$ の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

三角形 $ABC$ について，線分 $BC,CA$ の中点を $M,N$ とし，三角形 $AMN$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円，半直線 $AB$ がそれぞれ $A$ でない点で交わったのでそれぞれを $D, E$ とする．$MD=5, AB=34, BE=7$ が成り立つとき，線分 $BC$ の長さの二乗を解答せよ．

問題

$(1)$　集合 $S_n=\{nx\mid x^3\leqq 2x^2+5x-6\}$ に対し，整数 $k\notin\overline{S_1\cap S_2}\cup S_3$ は何個あるか．
$(2)$　$3$ 桁の素数は $200$ 個未満か．

解答形式

命題は真なら $1$，偽なら $0$ として，$(1),(2)$ の和を半角数字で入力してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について，垂心を $H$，外心を $O$，直線 $CH$ と直線 $AB$ の交点を $F$，直線 $BC, AC$ について $F$ と対称な点をそれぞれ $X, Y$ とし，直線 $BX$ と直線 $AY$ の交点を $P$ とします．$\angle FOX=\angle AFP$ かつ $FH=1, HC=7$ が成り立つとき，円 $ABC$ の半径としてありうる値の二乗の総和は互いに素な正整数 $a, b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$\frac{n}{144}$が$1$より小さい既約分数になるような自然数$n$の個数を求めよ。

解答形式

半角算用数字で答えてください。

問題文

鋭角三三三角形 $ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$ において，その外心を $O$，垂心を $H$，内接円を $\omega$ としたとき，$O,H$ はともに $\omega$ 上にあり，$\omega$ の半径は $1$ であった．
この条件下で線分 $OH$ の長さとしてありうる値の総積を $xxxxxxxxxx$ とする．$xxxxxxxxxx$ の最小多項式を $P$ として，$|P()|$ の値を解答せよ．ただし，$xxxxxxxxxx$ が最小多項式をもつことが保証される．

解答形式

半角数字を用いて解答せよ．解答すべき値が $$ でないことは保証される．

問題文

命題「aⁿ+bⁿ=cⁿ (n整数、a,b,cの最大公約数1)を満たす全ての自然数a,b,cは互いに素である」の真偽を述べよ

解答形式

真ならば真、偽ならば偽と入力

問題文

（ https://mathlog.info/articles/Lf8QaKPklfv156yuq309 問題13）
　三角形$ABC$において外接円，内接円，角$A$内の傍接円の半径をそれぞれ$R,r,r_A$とすると

$$R=14,r=6,r_A=19$$

が成り立ちました．このとき$BC$の長さの二乗を求めてください．

解答形式

答えを入力してください．

問題文

101^100の下位5桁(万の位まで)を求めよ。

解答形式

半角でお願いします。

問題文

正整数 $n$ に対して $n^{10n}$ を $31$ で割ったあまりを $f(n)$ としたとき，
$$\sum_{k=1}^{12000} f(k)$$
の値を求めてください．

解答形式

半角英数字で回答してください．