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Furina 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2024年11月4日23:30 正解数: 4 / 解答数: 4 (正答率: 100%) ギブアップ不可
この問題はコンテスト「FFMC001」の問題です。

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$,内心を $I$,外接円を $\Gamma$ とします.直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし,$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると,$AX=BX$ となりました.このとき,辺 $BC$ の長さを求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a\times b\times c$ を解答してください.

解答形式

半角数字で入力してください。


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$$AB=10,SC=16,TD=5,BC\cdot AD=32$$
が成立しているとき,線分 $SB$ の長さを求めてください.ただし求める長さは,正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.

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$10$ 進数での桁和が $2500$ となる正整数であって, $2024$ の倍数となるものうち,最小のものを $M$ とします.$M$ を $10$ 進表記したときの $10^{k-1}$ の位の値を $M_k$ としたとき,$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積を $10000000$ で割った余りを答えてください.
ただし,以下の $10^n$ を $2024$ で割った余りに関する表を用いて構いません.

$$
\begin{array}{c:ccccccccc}
n & 3 &4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\
\hline
10^n\pmod{2024} &1000 & 1904 &824& 144 & 1440& 232& 296
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
10 & 11& 12 & 13 &14 & 15 & 16 & 17 & 18\\
\hline
936& 1264 & 496 &912 & 1024 &120 &1200 & 1880 & 584
\end{array}\\\\
\begin{array}{ccccccccc}
19 & 20 & 21 & 22 & 23 & 24 &25\\
\hline
1792 & 1728 & 1088 & 760 & 1528 & 1112 & 1000
\end{array}
$$

解答形式

半角数字で解答してください.
たとえば $M=9876543210$ であれば,$M_1=0,M_2=1,\ldots,M_{10}=9$ となるため,$1\leq M_k \leq 8$ を満たす $k$ の総積は $2 \times \cdots \times 9= 362880$ となります.

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$m,m'\geq1,n\geq0$を満たす任意の整数$m,m',n$に対し$,\ $$A(m,n)$は
$$
A(1,n) = \frac{1}{n!},\qquad A(m+m',n) = \sum_{k=0}^{n}A(m,k)A(m',n-k)
$$を満たす。$1 \leq m \leq 100,0 \leq n \leq 100$を満たし$,\ $かつ$A(m,n)$が整数であるような整数$m,n$について$,\ $積$m\times n$の総和を求めよ。

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$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
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解答形式

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解答形式

例)ひらがなで入力してください。

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解答形式

1行目に分子
2行目に分母を書いてください
半角で、根号が含まれる場合
√(17) √(41+5√(19)) 2√(15)+3√(17)
このように括弧を付けてください
また、指数が小さい順、同じ次数のものは小さい数のものから並べてください
例:√10+√15+1 ³√15+√17+9

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$操作n:$$ カードがそれぞれn,n+1,n+2枚入った箱ABCを用意する。$$それぞれの箱にあたりの
カードが3,4,2枚入っている。$$
頂点Aにいる時は、まず箱BかCをランダムに選び、$$選んだ箱からカードを1枚引く。$$箱Bであたりを引くと頂点Aにそのまま、$$箱Cであたりを引くと頂点Bに、$$どちらの箱においてもハズレを引くと頂点Cに移動する。$$頂点Bにいる時は、箱Aからカードを1枚引き、$$あたりをひくと頂点Aに、$$ハズレだと頂点Cに移動する。
$$頂点Cにいるときは何もしない。$

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解答形式

簡単でいいので証明もお願いします。

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  • 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする.
  • 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする.
  • 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする.
  • 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする.

このとき,3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった.

$$AH=17 , AO=11$$

のとき,三角形 $ABC$ の面積を求めてください.

解答形式

答えを2乗した値は,互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ を求めてください.

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解答形式

半角数字で入力してください。

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$$EI = 23 , IO = 18$$

このとき,線分 $AI$ の長さは,互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので,$a + b$ を解答してください.