$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$,内心を $I$,外接円を $\Gamma$ とします.直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし,$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると,$AX=BX$ となりました.このとき,辺 $BC$ の長さの $2$ 乗を求めてください.ただし,求める値は,互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので,$a\times b\times c$ を解答してください.
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