幾何α

問題文

ある三角形の内心を中心とする半径 $2024$ の円が，その三角形の頂点のうちの一つと，その三角形の外心，垂心を通りました．この三角形の外接円の半径としてあり得る値の総和の整数部分を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$AB \lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ について，その外心を $O$ ，垂心を $H$ とし，頂点 $A,B,C$ から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ $D,E,F$ とします．また，三角形 $ABC$ の外接円と三角形 $AEF$ の外接円の交点のうち $A$ でない方を $K$ とします．ここで，線分 $EF$ 上の点 $S$ を $\angle SHO = 90^{\circ}$ となるように取ると，以下が成り立ちました．
$$ KS : SH : HD = 21 : 9 : 8 \sqrt{5} , \quad DK = 20 $$ このとき，線分 $BC$ の長さの二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので， $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

正の整数を半角で解答．

問題文

$AB\lt AC$ なる鋭角三角形 $ABC$ があり，$BC$ の中点を $M$ とします．また，直線 $AB$ に $B$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_1$ ，直線 $AC$ に $C$ で接し $M$ を通る円を $\Gamma_2$ とし，直線 $AM$ と $\Gamma_1,\Gamma_2$ との交点のうち $M$ でない方をそれぞれ $D,E$ ，$DE$ の中点を $F$ ，$\Gamma_1$ と $\Gamma_2$ の交点を $G$ とした時，以下が成り立ちました．
$$
AM:MG=3:1,\quad AC=24,\quad CF=10
$$
この時，$BC^2$ の値を求めてください．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$\sin \angle BAC = \dfrac{7}{8}$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ について，$B$ から $AC$ に下ろした垂線の足を $D$，$C$ から $AB$ に下ろした垂線の足を $E$ とします．また，線分 $BC$ 上に点 $F$ を $\angle DEF = 90^\circ$ を満たすように取ったところ $BF=2, CF=6$ が成立しました．このとき，三角形 $ABC$ の面積の二乗を求めてください．ただし，答えは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角整数値で解答してください．

問題文

$1$ 以上 $20^{24}$ 以下の整数 $N$ であって、次の条件を満たすものはいくつあるか。

条件: 何度でも微分可能な実数値関数 $f$ であって、ある実数 $x$ に対して $f(x)\ne0$ であり、さらに任意の実数 $x$ に対して $$\frac{f(x)}{N}=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$ を満たすようなものが存在する。

解答形式

条件を満たす $N$ の個数を、半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

以下の式を満たす素数の組$(a,b,c,d)$について、$abcd$の総和を求めよ。
$$
4a²+b²+c²=d²
$$

解答形式

半角数字で解答してください。

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{mn^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

問題文

「$L^\infty$空間の双対」

区間$[0,1]$上のルベーグ可測かつ本質的に有界な実数値関数の空間$L^\infty([0,1])$において、その双対空間$(L^\infty)^*$が$L^1([0,1])$と同型でないことを示せ

解答形式

例）証明してください。

問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と，その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています．この正 $169$ 角形の頂点のうち，$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが，それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください．（総和の $2$ 乗ではないことに注意してください．）

問題文

$AB \lt AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ の垂心を $H$，とする．直線 $BH, CH$ と三角形 $ABC$ の外接円との交点をそれぞれ $E (\not = B) , F (\not = C)$ とし，辺 $AB , AC$ と 線分 $EF$ との交点をそれぞれ $P , Q$ とする．直線 $AC$ に関して $P$ と対称な点を $R$，直線 $AB$ に関して $Q$ と対称な点を $S$ とし，三角形 $RSH$ の外心を $O$ とすると，以下が成立した．

$$ AH = 3 , BC = 4 , AO = 1$$

このとき，$AB$ の長さを求めてください．

解答形式

互いに素な正整数 $b , c$ および正整数 $a$ を用いて $\dfrac{\sqrt{a} - b}{c}$ と表されるので，$a + b + c$ を答えてください．

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

問題文

四角形 $ABCD$ があり，以下を満たしています：

$$
\angle B + \angle C = 120^{\circ} ,　\angle D = \angle B + 30^{\circ} ,　AB = CD = 7 ,　BC = 13 .
$$

このとき，辺 $AD$ の長さの $2$ 乗を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．