数列{a_n}について、 $$a_1=1$$,$$a_{n+1}=(n+1)a_n$$ と定めます。 n≧4の時、 $$\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n-2}}$$ が整数となるような整数nを全て求めてください。(更新5月13日12時50分)
解が有限個となるので全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。
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勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます. 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します.
しかしながら,魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて,勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます.
勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが,それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください.ただし,その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください.
答えは正の整数値となるので,その整数値を半角で入力してください.
次の関数の極大値を求めよ。 y=|x^2-7x+10|+x
半角数字でお願いします。
$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める. \begin{aligned} &a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\ &b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots) \end{aligned}
(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ. (2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.
(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)
本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.
$n\;を自然数とする$ $n\;が15の倍数でないとき、n^{4}+14\; は素数でないことを示せ$
記述形式でお願いします 入力がめんどくさい方は、紙にでも書いて、twitterのDMに送ってください
$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える. この操作が成り立つ$X,Y$について,玉の取り出し方の総和を求めなさい.
但しボールは互いに区別できるものとする.
答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます.$a,b,c$として様々なものがありますが, $a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい.
追記:8/6日問題文の訂正を行いました.もし,もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら,大変申し訳ありません。
半角で入力してください。 また、必要であればe,πを用いてください。
$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$
$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。
$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。
元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。
余りを自然数でお答えください
$5^n$ の十進法における上一桁の数が $1,2,3$ のいずれかであるような $9999$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか.ただし,$5^{9999}$ は十進法において $6990$ 桁であり,上一桁の数は $1$ です.
11の100乗(11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕ 11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11✕11)の下6桁 を、パスカルの三角形を利用して求めなさい。ただし、1234567890の下6桁は567890です。
五角形 $ABCDE$ は $\angle{A}=90°$ で,四角形 $BCDE$ は $1$ 辺の長さが $8$ の正方形になっています.$AC$ と $BD$ の交点を $P$ とし,$AP=PQ$ となる点 $Q$ を辺 $DE$ 上に取りました.$\angle{ACQ}=45°$ であるとき,$PQ$ の長さの $2$ 乗を求めてください。
非負整数を半角で入力してください。
$x$ の方程式 $x=1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{x}}}}}}}}$ の実数解の $2$ 乗和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので,$a+b$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.