整数問題

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$p=2^{10} - 3$とおき, 数列$a_n, b_n$を以下の式で定める.
\begin{aligned}
&a_0=0,\quad a_1 = 1,\quad a_{n+2} = 2a_{n+1} +2a_n & (n=0,1,\dots) \\
&b_0=0, \quad b_1 = 1,\quad b_{n+2} = 2b_{n+1} +(p+2)b_n & (n=0,1,\dots)
\end{aligned}

(1) $a_n,b_n$をそれぞれ$n$で表せ.
(2) $a_{1024}$を$p$で割った余りを求めよ. ただし, 整数$m$に対して$m^p\equiv m\pmod{p}$であることを用いてもよい.

解答形式

(2) の解答を入力してください((1)は解答参照)

備考

本問は大学への数学2025年2月号6番に掲載された自作問題です.

問題文

$x,y$を整数とします。次の式を満たす$x,y$の組$(x,y)$を全て求めてください。$$x^2y^2+3x^2y-12xy^2-5x^2-36xy+25y^2+60x+78y=123$$

少し問題を変更いたしました。ご迷惑をおかけしてしまい申し訳ございません。

解答形式

$x$と$y$の積$xy$としてあり得るものの総和を半角で解答してください。

問題文

$n\;を自然数とする$
$n\;が15の倍数でないとき、n^{4}+14\; は素数でないことを示せ$

解答形式

記述形式でお願いします
入力がめんどくさい方は、紙にでも書いて、twitterのDMに送ってください

問題文

次の関数の極大値を求めよ。
y=|x^2-7x+10|+x

解答形式

半角数字でお願いします。

問題文

$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える.
この操作が成り立つ$X,Y$について,玉の取り出し方の総和を求めなさい.

但しボールは互いに区別できるものとする.

解答形式

答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます.$a,b,c$として様々なものがありますが,
$a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい.

追記：8/6日問題文の訂正を行いました.もし,もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら,大変申し訳ありません。

問題文

$11$ 個の実数 $A_0 , A_1 , \cdots , A_{10} $ が $n=0 , 1 , \cdots , 9$ に対して$$\sum_{k=0}^{10}{A_kk^n}=0$$を満たします. $A_0=1$ のとき, $\sum_{k=0}^{10}{A_kk^{10}}$ の値を求めてください.
ただし, $0^0=1$とします.

解答形式

非負整数を答えてください.

問題文

解答形式

半角で入力してください。
また、必要であればe,πを用いてください。

問題

複素数の定数 $\alpha$ に対し、$|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を $D$ とおく。以下の解答欄を埋めよ。

（１）$\alpha=0$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を中心とする半径 $\fbox{ア}$ の円の周上および内部になる。

次に $|\alpha|>0$ の場合を考える。以下、$\displaystyle \arg \alpha=\frac{6}{11}\pi$ とする。

（２） $|\alpha|=1$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を通る直線となり、偏角が $\displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi,\ \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi$ であるような複素数を全て含む。ただし $0\leq \displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi < \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi<2\pi$ とする。

（３） $0<|\alpha|<1$ の場合を考えよう。原点を中心として $z$ を反時計回りに $\displaystyle -\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi$ だけ回転させた複素数を $w$ とおく(ただし $z=0$ のときは $w=0$ とする)。$z$ が $|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たして動くときに $w$ が動く領域について考察することで、$D$ に対応する複素数平面上の図形が明らかになる。特に $|\alpha|=0.4$ のとき、$D$ の面積は $\displaystyle\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}\pi$ である。

解答形式

解答欄ア〜シには、それぞれ0から9までの数字が1つ入る。同じカタカナの解答欄には同じ数字が入る。

（１）の答えとして、文字「ア」を半角で1行目に入力せよ。

（２）の答えとして、文字列「イウエオカキク」を半角で2行目に入力せよ。

（３）の答えとして、文字列「ケコサシ」を半角で3行目に入力せよ。

なお、分数はできるだけ約分された形となるように答えること。

問題文

$5^n$ の十進法における上一桁の数が $1,2,3$ のいずれかであるような $9999$ 以下の正整数 $n$ はいくつありますか．ただし，$5^{9999}$ は十進法において $6990$ 桁であり，上一桁の数は $1$ です．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。

元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。

解答形式

余りを自然数でお答えください

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。