$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.
このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください. ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.
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$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ. $$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$
答えは正整数となるので、その値を解答してください
$gcd(x,y,z)=1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。 (1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。 $x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。 (2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。
(1)は簡潔な証明 (2)は答えだけで構いません
$(1)$ 方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ. $(2)$ 不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ.
$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください.
$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、 $$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$ が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する(ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元)。
$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする(空集合 $\emptyset$ も含む)。
$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。
解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください
$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて, $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい.
$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$
半角数字で入力して下さい.
正の整数について定義され,$1$ 以上 $100$ 以下の整数値を取る関数 $f$ であり,任意の正の整数 $x,y$ について $$f(x)+f(y)=f(x^2y)+f(4x)$$ を満たすものすべてについて,$(f(1), f(2),…, f(100))$ としてありうる組が $N$ 個存在するとき,$N$ が $2$ で割り切れる回数を求めよ.
$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.
このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.
純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。 正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。 $$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$ 必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103, 0.47712<\log_{10}3<0.47713$$ を用いてよい。
$\angle B=90^{\circ}$ なる直角三角形 $ABC$ について,線分 $AC$ の中点を $M$ とし,内部に $PM\parallel BC$ なるように点 $P$ を取り,三角形 $BPM$ の外接円と三角形 $ABC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とする.$AP=5, PM=8, MA=10$ が成り立っているとき,線分 $PX$ の長さは互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので,$a+b$ を解答せよ.
holoXのずのーである『博衣こより』はとある実験に成功し、同じholoXのメンバーである『ラプラス・ダークネス』『鷹嶺ルイ』『沙花叉クロヱ』『風真いろは』と自分自身をそれぞれ $6$ 人ずつに分身させてしまいました. 分身させた計 $30$ 人のうち $6$ 人を選び,下記の条件に沿って左右 $1$ 列に並べる方法は何通りありますか.
半角整数で入力してください.
十万,一万,千,百,十,一の位がそれぞれ $a,b,c,d,e,f$ であるような $6$ 桁の整数を $A$ とし,十万,一万,千,百,十,一の位がそれぞれ $e,f,a,b,c,d$ であるような $6$ 桁の整数を $B$ とします. 相異なる $1$ 桁の整数 $a,b,c,d,e,f$ が $e>a>0$ を満たしながら動くとき,$A$ と $B$ の最大公約数の最大値を求めてください.
半角数字で解答してください.
正の整数 $m$ に対し, $$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$ と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.