400N

問題文

$n=2\times 577$とする. このとき以下の値を素数$577$で割った余りを求めよ.
$$\sum _{k=0}^{n} {}_{n+k} \mathrm{C}_{n-k}\cdot {}_{2k} \mathrm{C}_{k}$$

解答形式

答えは正整数となるので、その値を解答してください

問題文

$gcd(x,y,z)＝1$を満たす$x,y,z$について、 $x^2+y^2, y^2+z^2, z^2+x^2 $がすべて正の整数の平方となるとき、次の問いに答えよ。
(1) $x,y,z$ のうち、奇数であるものの個数は高々1つであることを示せ。
$x $を奇数、 $y, z$ を4の倍数とする。
(2) $y=44 $のとき、上記の条件を満たす正の整数$ x, z $の組を全て求めよ。

解答形式

(1)は簡潔な証明
(2)は答えだけで構いません

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

各頂点の重みが $1$ または $2$ である根付き $2$ 分木で、各頂点の重みの総和が $n$ になるもののうち重みが $2$ である頂点の数が偶数個であるものの個数を $X_n$ ,奇数個であるものの個数を $Y_n$ とするとき $X_{100}-Y_{100}$ を求めてください。
　ただし, 各頂点について右の辺と左の辺は区別するものとします.

問題

$(1)$　方程式 $12x^2+4xy-21y^2=32x-32y+3$ の整数解 $(x,y)$ を求めよ．
$(2)$　不等式 $z^2\lt a(a+1)z-a^3$ の奇数解 $z$ が二つとなる実数 $a$ の範囲を求めよ．

解答形式

$a^{xy}$ がとりうる整数の和を半角数字で入力してください．

問題文

$p$ を $p \ge 5$ なる素数とする。集合 $G_p = {1, 2, \dots, p-1}$ の部分集合 $S$ が自己双対的であるとは、
$$a \in S \implies a^{-1} \pmod p \in S \quad \text{かつ} \quad a \in S \implies p-a \in S$$
が全ての $a \in S$ に対して成り立つことと定義する（ここで $a^{-1}$ は $\pmod p$ における $a$ の乗法逆元）。

$N_p$ を、$G_p$ の自己双対的な部分集合 $S$ の総数とする（空集合 $\emptyset$ も含む）。

$N_p = 32$ となるような素数 $p$ ($p \ge 5$) をすべて求めよ。

解答形式

解を半角1スペースおきに小さい順に並べてください

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

問題文

正の整数 $n$ について，$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような，$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする．$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか？

問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす．
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{(m+1)m^2n^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

正の実数の組 $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ に対し, $a_1=b_1=1
$ および $n=1,2,3,4,5$ について以下を満たす実数の組の列 $(a_1,b_1),(a_2,b_2),\dots,(a_6,b_6)$ を考えます.
$$a_{n+1}=x_n a_n-n b_n,\quad b_{n+1}=x_n b_n$$
$b_6=100$ となるとき, $a_6$ として取りうる値には最大値が存在し, それを $M$ とします. $M$ の最小多項式 $P$ が存在するので, $P(500)$ を求めてください. ただし, $P$ の最高次の係数は $1$ とします.