[E] 肩の２が降りる

問題文

$1000^{n}$ ($n$ は自然数) の正の約数の個数を $D_{n}$ とし, そのうち $10^{n}$ より大きく, $100^{n}$ より小さいものの個数を $K_{n}$ とする。
極限値
$$
\lim_{n \to \infty} \dfrac{K_{n}}{D_{n}}
$$
を求めよ。

解答形式

電卓を用いるなどして極限値の小数第5位までを解答してください．(0.1234567...の場合0.12345と解答する)

備考

本問は京大作問サークル理系模試2019の第1回6番に掲載している問題です.

問題文

$n$ を $3$ 以上の整数とする。点 $\mathrm{O}$ を中心とする、半径 $1$ の円の形をしたピザがある。ピザの周上には、等間隔に点 $\mathrm{P}_1,\ldots,\mathrm{P}_n$ が並んでいる。

線分 $\mathrm{OP}_1$ 上に、線分 $\mathrm{OO'}$ の長さが $d$ となるような点 $\mathrm{O'}$ をとる。ここで $0< d < 1$ は定数である。ピザを線分 $\mathrm{O'P}_1,\ldots,\mathrm{O'P}_n$ によって分割し、分けられた $n$ 個のピザのうち線分 $\mathrm{P_1P_2,P_2P_3,\ldots, P_nP_1}$ を含む部分の面積を、それぞれ $S_1,\ldots,S_n$ とする。

$S_i$ の 平均はもちろん $\displaystyle \bar{S}= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}S_i=\frac{\pi}{n}$ である。では、$S_i$ の分散 $\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(S_i-\bar{S})^2$ はどうなるだろうか。以下の空欄を埋めよ。

（１）$\displaystyle \frac{\sigma ^2}{d^{\alpha}}$ が $d$ によらない定数となるような $\alpha$ の値は $\alpha=\fbox{ア}$ である。$n=12$ のとき、$\sigma^2$ を具体的に計算すると

$$
\sigma ^2 = \frac{\fbox{イ}-\sqrt{\fbox{ウ}}}{\fbox{エ}}d^{\fbox{ア}}
$$

である。

（２）極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{\beta}\sigma^2$ が $0$ でない有限の値に収束するような $\beta$ の値は $\beta=\fbox{オ}$ である。$\displaystyle d=\frac{1}{12\pi}$ のとき、その極限値は

$$
\lim_{n\to\infty}n^\fbox{オ}\sigma^2 = \frac{\fbox{カ}}{\fbox{キクケ}}
$$

である。

解答形式

ア〜カには、0から9までの数字が入る。
（１）の答えとして、文字列「アイウエ」を半角で1行目に入力せよ。
（２）の答えとして、文字列「オカキクケ」を半角で2行目に入力せよ。
なお、「ア」や「オ」には0や1が入ることもありうる。
また、分数はできるだけ約分された形で、根号の中身が最小となるように答えよ。
3行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題

複素数の定数 $\alpha$ に対し、$|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たす複素数 $z$ 全体の集合を $D$ とおく。以下の解答欄を埋めよ。

（１）$\alpha=0$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を中心とする半径 $\fbox{ア}$ の円の周上および内部になる。

次に $|\alpha|>0$ の場合を考える。以下、$\displaystyle \arg \alpha=\frac{6}{11}\pi$ とする。

（２） $|\alpha|=1$ のとき、$D$ は複素数平面上で原点を通る直線となり、偏角が $\displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi,\ \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi$ であるような複素数を全て含む。ただし $0\leq \displaystyle \frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi < \frac{\fbox{オカ}}{\fbox{キク}}\pi<2\pi$ とする。

（３） $0<|\alpha|<1$ の場合を考えよう。原点を中心として $z$ を反時計回りに $\displaystyle -\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウエ}}\pi$ だけ回転させた複素数を $w$ とおく(ただし $z=0$ のときは $w=0$ とする)。$z$ が $|z- \alpha\bar{z}|\leq1-|\alpha|^2$ を満たして動くときに $w$ が動く領域について考察することで、$D$ に対応する複素数平面上の図形が明らかになる。特に $|\alpha|=0.4$ のとき、$D$ の面積は $\displaystyle\frac{\fbox{ケコ}}{\fbox{サシ}}\pi$ である。

解答形式

解答欄ア〜シには、それぞれ0から9までの数字が1つ入る。同じカタカナの解答欄には同じ数字が入る。

（１）の答えとして、文字「ア」を半角で1行目に入力せよ。

（２）の答えとして、文字列「イウエオカキク」を半角で2行目に入力せよ。

（３）の答えとして、文字列「ケコサシ」を半角で3行目に入力せよ。

なお、分数はできるだけ約分された形となるように答えること。

設問8

正の数からなる数列 ${a_n}$ が $a_1 > 0$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + \frac{1}{a_n^2}$ ($n \ge 1$) を満たすとき、極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{\sqrt[3]{3n}}$ を求めよ。

解答形式

問題

$1234567$ 個の実数 $a_1,a_2,\ldots, a_{1234567}$ が、$n=1,2,\ldots,1234567$ に対して

$$a_{n+1}a_{n}a_{n-1}=a_{n+1}+a_{n}^2+a_{n-1}$$

を満たしている。ただし $a_0=a_{1234567},\ a_{1234568}=a_1$ とする。このような実数列 $a_1,a_2,\ldots, a_{1234567}$ には最大で何種類の異なる実数が現れるか。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題

$p$を$3$より大きい素数とする
$S=\sum_{k=1}^{p-2} k \cdot (k!) \cdot ((p-k-1)!)$　
を$p$で割った余りを求めよ。

解答形式

解答は既約分数で表せるので、
1行目に分子、
2行目に分母
を半角で書いてください
分母は1になる場合も書いてください

問題文

焼き鳥はタレに限るという垂川さんと、いやいや塩しかありえないという塩見さんは、激論の末、ゲームで決着をつけることになった。

$N,M$ をそれぞれ $1$ 以上 $2024$ 以下の整数とする。同じ大きさの焼き鳥が $N\times M$ の長方形状に並べられている。白と黒の串がたくさんある。垂川さんと塩見さんは、縦横いずれかの列または行を選んで、白または黒の串を端まで刺し通すという行動を、垂川さんから始めて交互に行う。ただし、各列または行にはそれぞれ $1$ 本の串しか刺し通すことができない。

合計 $N+M$ 本の串を刺し終わったとき、刺された串の色が縦と横で同じ焼き鳥の数を $S$、異なる焼き鳥の数を $D$ とする。$S>D$ ならば垂川さんの勝ち、$S<D$ なら塩見さんの勝ち、$S=D$ なら引き分けとする。

垂川さんの行動にかかわらず、うまく行動すれば塩見さんが必ず勝てるような組 $(N,M)$ はいくつあるか。

解答形式

条件を満たす組 $(N,M)$ の数を半角数字で1行目に入力せよ。
2行目以降に改行して回答すると、不正解となるので注意せよ。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ に対し，重心と垂心をそれぞれ $G,H$ とし，直線 $GH$ と辺 $AB,AC$ との交点をそれぞれ $D,E$ とし，直線 $AH$ と辺 $BC$ の交点を $F$ としたところ，$DH:HG=4:3,BF:FC=3:7$ となりました．
${AD}^2:{AE}^2$ は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $a:b$ と表されるので，$a+b$ の値を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

お笑いコンビ「さや香」の新山くんは以下のような「見せ算」という演算「$*$」を考案しました．

[見せ算の計算法]
$0$ 以上 $4$ 以下の整数 $a,b$ に対し，$a*b=\Bigg{\{}\begin{aligned}
0\ (a=bのとき) \\
a\ (a>bのとき) \\
b\ (a<bのとき)
\end{aligned}$

とし，$a*b$ を「 $a$ と $b$ の『眼』」と呼ぶ．

$0,1,2,3,4$ を $6$ 個ずつ左右一列に並べて得られる $M=\dfrac{30!}{({6!})^5}$ 通りの数列のうち，左に位置する $2$ 数を消し，その $2$ 数の『眼』をこの数列の左に書き込むという操作を $29$ 回繰り返した時，最後に $3$ が残るような $30$ 個の数の並べ方の総数を $N$ とします．このとき，$\dfrac{N}{M}$ は互いに素な正の整数 $p,q$ を用いて $\dfrac{q}{p}$ と表せるので，$p+q$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題

$(1)$　$1-\dfrac{2}{x}=\sqrt{2-\sqrt 3}$ のとき，$x^3=\dfrac{ax+b}{|x^2-20|}$ となる有理数 $a,b$ を求めよ．
$(2)$　$60|p-q\sqrt 3|\lt 1\leqq p-4\leqq 100$ を満たす整数 $p,q$ は存在するか．

解答形式

命題が真なら $|a+1|$，偽なら $|b+1|$ の値を半角数字で入力してください．

問題文

正の実数 $a,b,c,d$ が $\Bigg\{\begin{aligned}
a+\dfrac{b}{4}+\dfrac{c}{9}+\dfrac{d}{16}=25 \\
\dfrac{49}{a}+\dfrac{64}{b}+\dfrac{81}{c}+\dfrac{100}{d}=36
\end{aligned}$ の $2$ 式を満たすとき，$d$ の最小値は最大公約数が $1$ の正の整数 $p,q,r$ を用いて $\dfrac{p-\sqrt{q}}{r}$ と表されるので，$p+q+r$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$2023$ や $1231$ のように $2$ と $3$ がこの順に連続して表れる $4$ 桁の正の整数(すなわち，$1000$ 以上 $9999$ 以下の整数)の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．