整数問題

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して２で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。

解答形式

特に指定はなし。

問題文

（10進法で）正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。
例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。
次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。
・各桁の数の総和が10である。
・どの桁にも0は使われていない。

解答形式

半角整数で入力してください。

問題

鋭角三角形$ABC$について, 外心を$O$, 垂心を$H$とする. $B$から$AC$に下した垂線の足を$D$とすると,
$$
AD=3　OH=OD　BH:HC=7:18
$$
が成立した. このとき, 線分$BD$の長さの$2$乗は互いに素な正整数$a$,$b$を用いて$\frac{a}{b}$と表されるので, $a+b$を解答せよ.

問題文

格子点上を，点 $P$ は $(0,2)$ から $(6,8)$ へ，点 $Q$ は $(2,0)$ から $(8,6)$ へ最短経路で進む．
このとき，2 本の経路が交差しない（頂点共有もしない）組の総数を求めよ．

解答形式

例）半角数字で入力してください。

問題文

$AB=10,BC=21,CA=17$ をみたす三角形 $ABC$ の内心を $I$ とします。辺 $AB$ 上に点 $D$ をとると、直線 $DI$ が三角形 $ABC$ の面積を $2$ 等分し、さらに辺 $BC$ と交わりました。このときの線分 $AD$ の長さを求めてください。

解答形式

$AD$ の長さは正整数$a,b$を用いて $\sqrt{a}-b$ と表されるので、$a+b$ を解答してください

問題

半径 $1000$ の円の形をした平坦な地形の島がある。この島を訪れたトレジャーハンターのアリスは、この島のある $1$ 点 $\mathrm{T}$ の真下に宝が埋まっていることは知っているが、$\mathrm{T}$ の位置は知らない。アリスは、自分のいる地点と $\mathrm{T}$ との距離を正確に測る探知機を使って $\mathrm{T}$ にたどり着こうとしている。

はじめ、アリスは島の中心点 $\mathrm{A_0}$ にいる。この後、アリスはターン制で行動を繰り返す。$n=1,2,\ldots$ に対し、$n-1$ ターン目の行動が終わった後のアリスの位置を $\mathrm{A_{n-1}}$ とする。$n$ ターン目でアリスは以下の行動をとる:

$n$ ターン目の行動:
アリスは、今いる地点 $\mathrm{A_{n-1}}$ からちょうど距離 $1$ だけ離れた点 $\mathrm{A_{n}}$ に移動する。その後、探知機を使って線分 $\mathrm{TA}_n$ の長さ $d_n$ を正確に測る。

さて、あるターンで $d_n=0$ となった時、アリスは今いる地点の真下を掘り起こして宝を見つける。$\mathrm{T}$ の位置にかかわらず、アリスがうまく行動すれば $N$ ターン目で確実に宝を見つけることができるような正の整数 $N$ の最小値を求めよ。

解答形式

半角数字のみで1行目に入力せよ。

問題

$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)＝f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題文

$8\times8$ のマス目に対し，上から $1$ 行目かつ左から $1$ 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き， 残りの $63$ マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を $1$ つずつ置きました．
このとき，「行もしくは列を $1$ つ選び，そこに置かれた $8$ つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ，すべての駒が黒を表にして置かれました．
このときの操作回数としてあり得る最小の値を $m$ とおくとき，操作回数が $m$ であって，最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$4999$ 以下の素数の組 $(p,q,r,s)$ が以下の式を満たしているとき，積 $pqrs$ が取りうる値の総和を解答してください．
$$ pqr+pqs-p^2 = q^2+2 $$

解答形式

正の整数を半角で解答．

$$問　題$$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$