整数問題

63999271を素因数分解した時に出てくる素因数全ての和を求めなさい。

例:35の時
　5+7=12と解答。

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

全ての自然数に対し、偶数の時は2で割り、奇数の時は1を足して２で割る操作を繰り返すと必ず1になることを証明せよ。

解答形式

特に指定はなし。

問題文

（10進法で）正の整数を書き、各桁の数字を赤か青に塗ったものを色付き整数と定義する。
例えば、57という数字を色付き整数で表すと、5,7をそれぞれ赤、青に塗るかのそれぞれ2通りあるので4通りの表し方がある。
次の条件を満たす色付き整数の個数を求めよ。
・各桁の数の総和が10である。
・どの桁にも0は使われていない。

解答形式

半角整数で入力してください。

問題文

$\quad$ $BC=8$ なる三角形 $ABC$ において，内接円の半径は $2$ ，角 $A$ 内の傍接円の半径は $5$ であった．このとき，三角形 $ABC$ の面積を求めよ．

解答形式

求める値は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

$$問　題$$
$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yに対して恒等式$
$$f(x ^2+y)＝f(kx ^2+2y)−f(3x ^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題

$実数全体で定義され、実数値を取る定数でない関数f(x)がある。$
$この関数が任意の実数x,yについて恒等式$
$$f(x^2+y)＝f(kx^2+2y)-f(3x^2)$$
$を満たすとき、定数kの値を求めよ。$

問題文

$8\times8$ のマス目に対し，上から $1$ 行目かつ左から $1$ 列目にあるマス目には黒を表にしてオセロの駒を置き， 残りの $63$ マスには隣り合うマスに置かれた2つの駒が同じ色を表にして置かれないようにオセロの駒を $1$ つずつ置きました．
このとき，「行もしくは列を $1$ つ選び，そこに置かれた $8$ つの駒を全て同時に裏返す」という操作を繰り返したところ，すべての駒が黒を表にして置かれました．
このときの操作回数としてあり得る最小の値を $m$ とおくとき，操作回数が $m$ であって，最終的にすべての駒が黒を表にして置かれるような操作方法の総数を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。
$m$の値を求めよ。

解答形式

$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。
$m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。

問題文

実数 $a,b,c,d$ が $\dfrac{a^2+b^2+2bc+2ca}{c^2+2ab}=\dfrac{b^2+c^2+2ca+2ab}{a^2+2bc}=\dfrac{c^2+a^2+2ab+2bc}{b^2+2ca}=d$ を満たすとき，$d$ の値として考えられるものの総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\{1,2,…,9999\}$ の部分集合 $S$ であり，任意の $S$ の要素 $a,b(a\neq b)$ について $a+b$ を行ったときに繰り上がりが起きない（どの桁も $10$ を超えない）ようなものについて，その要素数の最大値を求めよ．

問題文

以下の等式を満たす $0$ 以上の整数 $x$ をすべて求めよ。解答する際は、解答形式を参照すること。

$$
\left\lfloor \sqrt{x} \, \right\rfloor + \left\lceil \sqrt{x} \, \right\rceil = x
$$

ただし、実数 $x$ に対して $\lfloor x \rfloor$ は $x$ 以下の最大の整数、$\lceil x \rceil$ は $x$ 以上の最小の整数をいう。

解答形式

答えを小さい順に並び替え、半角数字で一つずつ改行で区切って答えてください。
末尾に改行はあってもなくても構いませんが、各行にスペース等は入れないでください。

例）答えが $-1,8,9,10$ のとき

-1
8
9
10

と解答してください。