幾何

katsuo_temple 自動ジャッジ 難易度: 数学 > 競技数学
2025年8月24日20:53 正解数: 4 / 解答数: 4 (正答率: 100%) ギブアップ数: 1

問題文

三角形$ABC$において,$A,B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$D,E,F$とし,垂心を$H$とします.三角形$DEF$の外接円と三角形$HBC$の外接円の交点を$P,Q$とし,$EF$の中点を$M$とします.直線$HM$と直線$PQ$の交点を$R$とすると,$DR$は$AB$の中点を通り,$BC$の中点を$N$とすると,$$ND=2 CE=5$$が成立しました.このとき,$AB$の長さの二乗は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので,$a +b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.


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$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。

解答形式

求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。

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$$
FG=FH, MJ:KJ=1:3, LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

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$AB=4,\angle ACB=45^\circ,AB<AC $を満たす鋭角三角形$ABC$がある。辺$BC$の中点を$M$とすると、線分$AM$上に$CP=4$となる点$P$をとることができた。また、点$Q$を辺$BC$に関し$A$と反対側に$\angle ACP=\angle PAQ,BQ=CQ$になるようにとったところ、$BQ=7$となった。このとき、線分$BC$の長さを求めよ。

解答形式

求める長さの二乗、$BC^2$は互いに素な自然数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので、$p+q$の値を求めてください。

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四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

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$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において, $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を, $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると, $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり, $\angle APB=\angle AQC$ が成立した.また,三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし,直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると,
$$\cos\angle BXC=\frac 15,CX-BX=5,XR:XS=5:3$$が成立した.さらに,線分 $BC$ の中点を $M$ ,直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし,三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると,直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった.このとき,線分 $XI$ の長さを求めよ.

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$$
QL=PM=20
$$

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$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち, $f(1)$ が整数になるものについて,$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか.

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半角数字で解答してください.

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$$
CX:CD=8:3, AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

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$$
\angle ADE=\angle AME, AE=25, BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

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三角形$ABC$の内心を$I$ , 外心を$O$とします。
$AI=5$ , $AO=6$ , $AB+AC:BC=5:2$が成り立っている時、$cos\angle OAI$の値を求めてください。

解答形式

求める値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\frac{a}{b}$と表せられるので、$a+b$の値を解答してください。