幾何

問題文

$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。

解答形式

求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH,　MJ:KJ=1:3,　LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました.
$$
AH=6,LN=4, PC\perp CR.
$$
この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.

問題文

$AB=4,\angle ACB=45^\circ,AB<AC $を満たす鋭角三角形$ABC$がある。辺$BC$の中点を$M$とすると、線分$AM$上に$CP=4$となる点$P$をとることができた。また、点$Q$を辺$BC$に関し$A$と反対側に$\angle ACP=\angle PAQ,BQ=CQ$になるようにとったところ、$BQ=7$となった。このとき、線分$BC$の長さを求めよ。

解答形式

求める長さの二乗、$BC^2$は互いに素な自然数$p,q$を用いて$\frac{p}{q}$と表せるので、$p+q$の値を求めてください。

問題文

$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

四角形$ABCD$があり、次の条件を満たします。

$∠A=∠B=∠C, ∠D=135°, BC=4\sqrt{6}, CD=8$

この四角形の面積$S$は$a + \sqrt{b}$の形で表されるので、$a + b$を解答してください。

解答形式

半角数字で答えをそのまま入力。

余談

問題に不備等あればtwitterのDMなどで気軽にお願いします。
Tex初めて使いました。
問題思いつくのは簡単なんですけど、解説は未だに上手く書けませんね…

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3,　AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

問題文

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外心を$O$, $\angle BAC$の二等分線と直線$BO$の交点を$D$とします.
円$ABC$について弧$BAC$の中点を$M$とし, 直線$AB$と直線$CM$の交点を$E$とすると以下が成り立ちました.
$$
\angle ADE=\angle AME,　AE=25,　BE=96
$$
このとき, 辺$AC$の長さは互いに素な正整数 $a,b$ を用いて$\Large\frac{a}{b}$と表せるので $a+b$ の値を解答してください.

問題文

実数係数多項式で次数が $9999$ 以下の $P(x)$ について，$(P(1),P(2), \dotsc P(10000))$ が $(1,2, \dotsc 10000)$ の並べ替えであるとき，$P(10001)$ が考えられる最大値をとるような $P(x)$ の個数を素数 $9973$ で割ったあまりを解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．