幾何

問題文

鋭角三角形 $ABC$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$，外心を $O$ とします．$O$ を通る直線 $AI_A$ に平行な直線と辺 $AC$ の交点を $P$ とおくと，円 $APO$ は直線 $OI_A$に接しました．以下の条件を満たしているとき，辺 $AB$ の長さを求めてください．
$$\cos \angle ABC=\dfrac{1}{7},　BC=6$$

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

$\cos \angle BAC=\dfrac{3}{7}$ を満たす三角形 $ABC$ があり，$B$ から直線 $CA$ におろした垂線の足を $D$，$C$ から直線 $AB$ におろした垂線の足を $E$ とします．三角形 $ADE$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$ とすると，$I_A$ は直線 $BC$ 上に存在しました．$AC=1$ のとき，辺 $AB$ の長さとして考えられる値の総和を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

三角形 $ABC$ の角 $A$ に対する傍心を $I_A$，垂心を $H$，外心を $O$ とすると $I_AH=I_AO$ が成り立ちました．$\angle ABC=45^\circ, AB=1$ であるとき，辺 $AC$ の長さとして考えられる値の総積を求めてください．

解答形式【再掲】

以下のルールに従ってください．
・非負整数値であればその整数を半角数字で解答してください．
・整数 $a$ を用いて $\sqrt a$ と表せかつその値が整数でないならば $a^2$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表すことができるならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ と表せかつその値が有理数でないならば $a+b$ を解答してください．
・互いに素な正整数 $a,b$ と平方数でない整数 $c$ を用いて $\dfrac{b\pm \sqrt{c}}{a},\dfrac{-b+\sqrt{c}}{a}$のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．
・正整数 $a$ と平方数でない整数 $b,c$ を用いて $\dfrac{\sqrt{b} \pm \sqrt{c}}{a}$ のいずれかで表すことができるならば $a+b+c$ を解答してください（$a=1$ の場合も同様に $a+b+c$ の値を解答してください）．

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.

問題文

$\quad$三角形 $ABC$ において，内心を $I$ ，角 $A$ 内の傍心を $I_A$ ，外心を $O$ とすると，直線 $II_A$ と直線 $IO$ は垂直に交わった．線分 $BC$ の中点を $M$ ，線分 $II_A$ と線分 $BC$ の交点を $K$ とし，三角形 $MKI_A$ の重心を $G$ とすると， $$KM=1，KG=3$$が成立した．このとき，線分 $BC$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

$AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$の外接円を$Ω$, 辺$BC$の中点を$M$とします. 点$B,C$から対辺に下した垂線の足をそれぞれ$E, F$とし, 直線$EF$と$Ω$の交点を$P, Q$とします. ただし, 四点$P, E, F, Q$はこの順に並ぶものとします. 円$MEF$と直線$MQ$の交点を$L(\neq M)$としたところ直線$AL$と直線$PM$が$Ω$上で交わりました.
$$
QL=PM=20
$$

が成立するとき, 線分$AP$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

$AB>AC$ を満たす鋭角三角形 $ABC$ において、$\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ とする。線分 $AD$ 上に $AP:PD=AB:BC, AQ:QD=AC:CB$ を満たす点 $P,Q$ をとり、$AC$上に点 $R$ 、$AB$上に点 $S$ を $BC//PR//QS$ を満たすようにおいた。$\triangle APR$ の外接円と $\triangle AQS$ の外接円の交点を $T(\neq A)$ 、$\triangle BCT$ の内心を $I$ 、直線 $ RS $ と直線 $BI$ ,直線 $CI$ の交点を $U,V$ 、線分 $BC$ ,線分 $UV$ の中点を $M,N$ としたところ$$MN=5,UV=16$$であった。$\triangle BCT$ の内接円の半径が $2$ のとき、$IT$ の長さを求めよ。

解答形式

求める値の二乗は互いに素な自然数 $p,q$ を用いて $\frac{p}{q}$と表せるので、 $p+q$ の値を答えてください。

外接円を$\Omega$, 内心を$I$とする鋭角三角形$ABC$について, 円$Γ$は円$\Omega$に内接し, 辺$AC$, 辺$BC$にも接しています. 円$\Gamma$と円$\Omega$, 辺$AC$との接点をそれぞれ$T, D$とし, 直線$TD$と円$\Omega$の交点を$M(\neq T)$, 直線$AI$との交点を$F$, 直線$TI$と直線$AB$, 円$MDI$の交点をそれぞれ$G$, $K(\neq I)$とします. さらに, 円$MDI$内に点$H$をとったところ, これは円$TAK$上にありました. また, 円$GHK$と直線$MK$の交点を$J(\neq K)$とすると, 直線$GJ$, 直線$AK$, 円$TAD$が一点で交わったのでこれを$L$とします.
$$
FG=FH,　MJ:KJ=1:3,　LJ=30
$$
が成立するとき, 線分$IK$の長さを二乗した値を求めてください.

問題文

三角形 $ABC$ の外心を $O$，垂心を $H$，外接円を $\Gamma$ とする．そして，以下のように点を4つとる．

• 直線 $BH$ と $\Gamma$ との交点を $P(\not=B)$ とする．
• 直線 $PO$ と $\Gamma$ との交点を $Q(\not=P)$ とする．
• 直線 $QH$ と $\Gamma$ との交点を $R(\not=Q)$ とする．
• 直線 $RO$ と $\Gamma$ との交点を $S(\not=R)$ とする．

このとき，3点 $ C,H,S$ が同一直線上にあった．

$$AH=17 , AO=11$$

のとき，三角形 $ABC$ の面積を求めてください．

解答形式

答えを2乗した値は，互いに素な2つの正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle\frac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ を求めてください．

鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました.
$$
AH=6,LN=4, PC\perp CR.
$$
この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.

問題文

点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円と，その円に内接する正 $169$ 角形 $A_1A_2\cdots A_{169}$ が与えられています．この正 $169$ 角形の頂点のうち，$A_{169}$ を除いた $168$ 頂点から $3$ 点を選ぶ方法は ${}_{168}\mathrm{C}_3$ 通り考えられますが，それらすべてについて選んだ $3$ 点を頂点とする三角形の垂心と $O$ の距離の $2$ 乗の総和を解答してください．（総和の $2$ 乗ではないことに注意してください．）