Robbins Constant

問題文

重心を$G$とする三角形$ABC$において，その外接円を$Γ$とし，$A$を通って$BC$に垂直な直線と$Γ$が再び交わる点を$D$とする.また$B,C$から対辺に下ろした垂線の足をそれぞれ$E,F$とし，三角形$DEF$の外接円と$Γ$の交点のうち，$D$でないほうを$P$とする.$AB,AC$の中点をそれぞれ$M,N$としたとき，$3$直線$MN,EF,AG$は$1$点で交わり，$$AB=3　AP=4$$が成立した.このとき$BC^2$は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{a}{b}$と表せるので，$a+b$の値を解答して下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

問題文

$X$($0<X<2025$)個の玉から$Y$($0<Y<2025$)個を同時に取り出す操作を考える．
この操作が成り立つ$X,Y$について，玉の取り出し方の総和を求めなさい．

但しボールは互いに区別できるものとする．

解答形式

答えは$a^b+c(a,b,c∈ℤ)$通りと書けます．$a,b,c$として様々なものがありますが，
$a+b+c=Z(Z∈ℤ ,Z>0)$について$MIN(Z)$の値を求めて下さい．

追記：8/6日問題文の訂正を行いました．もし，もとの問題文のせいでミスしたという方がいましたら，大変申し訳ありません．

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

整数 $n$ について， $n^5+n^4+32$ が素数でないことを示せ．

解答形式

簡単な証明をお書き下さい．

$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。

元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。

解答形式

余りを自然数でお答えください

問題文

$x$ の方程式
$x=1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{1+\dfrac{3}{2+\dfrac{4}{x}}}}}}}}$
の実数解の $2$ 乗和は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表されるので，$a+b$ の値を解答してください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

ある数$N$は$714$進法で$\underbrace{1818\dots1818}_{\text{1430個}}0$と表されます。$N$の素因数に含まれない最小の素数は何でしょう？

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列{a_n}について、
$$a_1=1$$,$$a_{n+1}=(n+1)a_n$$ と定めます。
n≧4の時、
$$\frac{a_n}{a_{n-1}a_{n-2}}$$
が整数となるような整数nを全て求めてください。(更新5月13日12時50分)

解答形式

解が有限個となるので全ての解と、それ以外に解が存在しないことの証明を、簡単で構わないのでお願いします。

問題文

正の整数 $n$ について，$f(n)$ を $_n\mathrm{C}_k$ が奇数であるような，$0\leq k\leq n$ を満たす整数 $k$ の個数とする．$$f(a)^2+4f(b)=f(c)^3+4$$ かつ $a+b+c=2047$ を満たす正の整数の組 $(a,b,c)$ はいくつ存在するか？

$
f(x,n)=x^{2^{n＋1}}-x^{2^{n}}とおく。
$
$
f(a,b) と f(c,d) の最大公約数として
考えられるものの最小値を求めよ。
$
$
ただし、a,b,c,dはいずれも2以上の自然数で、a\neq b \neq c \neq d とする。
$