以下の式の値を $1000$ で割った余りを答えよ $$ 47!\sum_{k=1}^{45}\ \frac{2k^{3}+7k^{2}+5k-3}{(k+2)!} $$
正整数で回答してください
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鋭角三角形$ABC$について,その外接円を$\Gamma$,外心を$O$,垂心を$H$,点$A$から辺$BC$に下した垂線の足を$D$とします.さらに,直線$AO$と辺$BC$の交点を$E$,直線$AO$と$\Gamma$の交点を$F$とすると以下が成立しました. $$ OH=10, DH=12, EF=13 $$ このとき$\Gamma$の面積としてありうるものの総和は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab\pi$と表せるので$a+b$を回答してください.
正整数 $a,b$ であって以下が整数になるようなすべての組 $(a,b)$ について $ab$ の総和を求めてください $$ \frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)} $$
正整数列 $A_{n}$ を以下のように定義する $$ 1個の2 以上の正整数を要素に持ち,それらの総積が n に等しい $$ この時 $A_{2^{100}}$ としてありうる数列すべてについて,その要素の 総和を $97$ で割った余りを答えてください。 ただし,並び替えて一致するものも別々として数える。 例えば $A_{8}$ としてありうるものは $\lbrace8\rbrace,\lbrace2,4\rbrace, \lbrace4,2\rbrace, \lbrace2,2,2\rbrace$ でありその要素の総和は $8+2+4+4+2+2+2+2=26$ である。
正整数で答えてください
三角形 $ABC$ について, 内心を $I$ , $A$ に関する傍心を $I_A$ , $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ , 三角形 $ABC$ の外接円上の点であって, 点 $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします.
$AM=27,MI_A=8$ のとき, $ID$ の長さを求めてください. ただし, 答えは有理数となるため, 既約分数 $a/b$ と書いたときの $a+b$ を答えてください.
鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました. $$ AH=6,LN=4, PC\perp CR. $$ この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.
$100\times100$ のマス目に $1,2,3$ のどれかの数字をそれぞれ書き込む方法は $3^{10000}$ 通りありますが,そのうちどの $3\times3$ マスを選んでも縦横斜め $3$ マスの数字の総和が $3$ の倍数になるような書き込み方は何通りありますか。ただし,回転や反転して一致するものも異なるものとして数える。
△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。 ただし、OとHが一致する場合は除きます。
∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。 $\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。
関数$A(n),B(n)$を $$ A(n)=(1\le x \le nを満たす1001と互いに素な整数xの個数)\\ B(n)=(n\le x \le 1001を満たす1001と互いに素な整数xの個数) $$ と定めるとき,次の値を求めてください. $$ \sum_{n=1}^{1000}\quad \frac{A(n)^2}{A(n)-B(n)} $$
三角形 $ABC$ の辺 $AB,AC$ 上に ${BC}\parallel{DE}$ となるよう $D,E$ をとり,さらに,$D,F,G,E$ がこの順に並ぶように点 $F,G$ を線分 $DE$ 上にとる.さらに,辺 $BC$ と直線 $AF,AG$ との交点をそれぞれ $H,I$ とする. 三角形 $ADF$,四角形 $FGIH$,$AEG$ の面積がそれぞれ $3,5,8$ であるとき,三角形 $ABC$ の面積の最小値は正の整数 $a,b$ および平方因子をもたない正の整数 $c$ を用いて $a+b\sqrt{c}$ と表せるので,$a+b+c$ の値を解答してください.
半角数字で解答してください.
$\lim\limits_{n\to\infty} n\sin\frac{2π}{n} = mπ$ である。 $m$の値を求めよ。
$m$は2つの実数$a,b$を使って $\frac{a}{b}$と表せる。 $m$を分母が有理化された既約分数の形にした時の$a+b$を解答すること。
正方形と正三角形を組み合わせた以下の図において、青で示した角の大きさを求めてください。
半角数字で解答してください。 解答は度数法で、単位を付けずに0以上180未満の整数として解答してください。
$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり,その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります. また,線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします. $a,b$ の交点を $E$,$b,c$ の交点を $F$,$c,d$ の交点を $G$,$d,a$ の交点を $H$ とすると,$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり,四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました. そして,以下が成立しました: $$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$ このとき,$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので,$a+b$ を解答してください.
非負整数を半角で入力してください.