TMC001(G)

鋭角三角形$ABC$について,その垂心を$H$,外心を$O$,線分$AB$,$BC$,$CA$の中点をそれぞれ$L,M,N$とします.円$OMN$と直線$LN,LO,LM$の交点のうち,$N,O,M$でないほうをそれぞれ$P,Q,R$とすると以下が成立しました.
$$
AH=6,LN=4, PC\perp CR.
$$
この時,線分$OQ$の長さの二乗の値は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.

正整数 $a,b$ であって以下が整数になるようなすべての組 $(a,b)$ について $ab$ の総和を求めてください
$$
\frac{(3ab+2a+4b-6)^2}{13(a^2b^2+a^2+4b^2+4)}
$$

問題文

以下の式の値を $1000$ で割った余りを答えよ
$$
47!\sum_{k=1}^{45}\
\frac{2k^{3}+7k^{2}+5k-3}{(k+2)!}
$$

解答形式

正整数で回答してください

問題文

$4$ 点 $A,B,C,D$ は同一円周上にあり，その内部(辺上を含まない)に点 $P$ をとります．
また，線分 $AP,BP,CP,DP$ の垂直二等分線をそれぞれ $a,b,c,d$ とします．
$a,b$ の交点を $E$，$b,c$ の交点を $F$，$c,d$ の交点を $G$，$d,a$ の交点を $H$ とすると，$4$ 点 $E,F,G,H$ は同一円周上にあり，四角形 $EFGH$ の二本の対角線は $P$ で交わりました．
　そして，以下が成立しました：
$$HP=5,\quad HE=11,\quad EF=16$$
　このとき，$HG$ の長さの二乗は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{b}{a}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

解答形式

非負整数を半角で入力してください．

三角形 $ABC$ について, 内心を $I$ , $A$ に関する傍心を $I_A$ , $\angle A$ の二等分線と $BC$ の交点を $D$ , 三角形 $ABC$ の外接円上の点であって, 点 $A$ を含まない方の弧 $BC$ の中点を $M$ とします.

$AM=27,MI_A=8$ のとき, $ID$ の長さを求めてください. ただし, 答えは有理数となるため, 既約分数 $a/b$ と書いたときの $a+b$ を答えてください.

問題文

$\triangle ABC$の辺$AB$上に点$D$が，辺$AC$上に点$E$がそれぞれある．また，辺$BC$上に2点$P,Q$があり，4点$B,P,Q,C$はこの順に並んでいる．
$\triangle BDP$の外接円の$B$における接線と，$\triangle CEQ$の外接円の$C$における接線とが点$F$で交わっている．
$AD=2,DB=4,AE=5,EC=3,BP=1,PQ=10,QC=1$のとき，$AF=\dfrac{a\sqrt{b}}{c}$である．ただし，$a,b,c$はいずれも正の整数であり，$a,c$は互いに素である．また，根号の内部は十分簡単になっている．
$a+b+c$の値を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$\quad$鋭角三角形 $ABC$ において， $B$ を通り直線 $AC$ に平行な直線上に点 $P$ を， $C$ を通り直線 $AB$ に平行な直線上に点 $Q$ をそれぞれとると， $A,P,Q$ はすべて直線 $BC$ に関して同じ方にあり， $\angle APB=\angle AQC$ が成立した．また，三角形 $PAB$ の外接円と三角形 $QAC$ の外接円が再び交わる点を $X$ とし，直線 $PQ$ と直線 $BX,CX$ の交点をそれぞれ $R,S$ とすると，
$$\cos\angle BXC=\frac 15，CX-BX=5，XR:XS=5:3$$が成立した．さらに，線分 $BC$ の中点を $M$ ，直線 $AX$ と三角形 $PXQ$ の外接円が再び交わる点を $T$ とし，三角形 $TPQ$ の内心を $I$ とすると，直線 $AX$ と直線 $MI$ は平行であった．このとき，線分 $XI$ の長さを求めよ．

解答形式

求める値の二乗は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac ab$と表せるので， $a+b$ を半角数字で解答してください．

半径1の円$\omega$に内接する凸六角形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$について,線分$A_{1}A_{4},A_{2}A_{5},A_{3}A_{6}$はそれぞれ$\omega$の直径です.直線$A_{1}A_{2}$と直線$A_{3}A_{4}$の交点を$B_{1}$直線$A_{3}A_{4}$と直線$A_{5}A_{6}$の交点を$B_{2}$直線$A_{5}A_{6}$と直線$A_{1}A_{2}$の交点を$B_{3}$とすると以下が成立しました.
$$
\frac {A_{1}A_{2}}{A_{1}A_{5}}+\frac {A_{2}A_{3}}{A_{2}A_{6}}+\frac {A_{3}A_{4}}{A_{3}A_{1}}=3,三角形B_{1}A_{2}A_{3},B_{2}A_{4}A_{5},B_{3}A_{6}A_{1}の面積の和は\frac {24}{5}.
$$
このとき,六角形$A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}A_{6}$の面積は互いに素な正の整数$a,b$を用いて$\frac ab$と表せるので$a+b$を回答してください.

半径が$14$の円$Ω$に内接し, $AB>AC$を満たす鋭角三角形$ABC$について, 内心を$I$, $A$傍心を$J$とする. 辺$AJ$の垂直二等分線と$Ω$の交点の内, 点$C$側にあるものを$D$, $B$側にあるものを$E$とし, 三角形$JBC$の外接円と三角形$JDE$の外接円の交点を$X(\neq J)$としたところ, 以下が成り立った.
$$
CX:CD=8:3,　AI=10
$$

辺$BC$と辺$DE$の交点を$F$としたときの線分$XF$の長さの二乗を求めてください.

問題文

三角形 $ABC$ の垂心を $H$ とし、$AH$ と $BC$ の交点を $D$、$BC$ の中点を $M$ とすると、$B,D,M,C$ がこの順に並びました。$AH$ を直径とする円と $AM$ の交点のうち $A$ でない方を $X$ とすると、$∠CXM=∠BAM$ でした。$BD=23,DM=42$ のとき、三角形 $ABC$ の面積を解答してください。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

2つの三角形ABCとQCRが図のように配置されています。各点が画像に記した条件を満たすとき、赤い三角形の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

△ABCにおいて、垂心をH、外心をOとするとAB//HOであった。このとき、∠Cの角度としてあり得る値の範囲を求めてください。
ただし、OとHが一致する場合は除きます。

解答形式

∠Cの範囲は度数法で表すと、$(0°<)\alpha°<C<\beta°(<180°)$となります。
$\alpha+\beta$を半角数字で解答してください。