ハロウィン関数　🕷️

問題文

$0$以上$9$以下の整数を順番を区別して$1031$個選び、それらを$a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031}$とする。(重複も許す)
$a_1+a_2+a_3+…+a_{1030}+a_{1031}$が$9$で割り切れない奇数となるような組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を求めよ。

解答形式

条件を満たす組$(a_1,a_2,a_3,…,a_{1030},a_{1031})$の個数を$N$個とします。$N$の各桁の和を半角数字で入力してください。

問題文

正$10$角形が半径$31$の円に内接している。
正$10$角形の面積を求めよ。

解答形式

正$10$角形の面積は互いに素な正整数$a,b$及び正整数$c$と平方因子をもたない正整数$d$を用いて$\dfrac{b\sqrt{c-2\sqrt{d}}}{a}$と表されるので、$a+b+c+d$の値を半角数字で入力してください。

問題文

$x,y$を非負整数とする。
$10x+31y=1031$
を満たす組$(x,y)$をすべて求めよ。

誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。

解答形式

組$(x,y)$について、$x+y$の総和を半角数字で入力してください。

問題文

カボチャ$10$個とキャンディ$31$個を円周上に並べる方法は何通りあるか。
ただし、カボチャとキャンディはどちらも区別できない。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

数列${a_n}$が$$a_1=\frac{10}{31},a_{n+1}=\frac{(n+1)^n}{n^n}a_n$$を満たしている。
$a_{1031}$の値を求めよ。

誤って第1問と第3問の答えを逆で設定していました。大変申し訳ございません。

解答形式

$a_{1031}$の値は互いに素な整数$p,q$を用いて$\dfrac{p}{q}$と表されるので、$pq$が$2025$で割り切れる回数を半角数字で入力してください。

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=xyz$ を満たしているとき,

$$\dfrac{x}{1+x^2}+ \dfrac{y}{1+y^2}+ \dfrac{z}{1+z^2}$$

の最大値を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて, $\dfrac{a \sqrt{b}}{c}$ と表せるから, $a+b+c$ を解答してください.

問題文

$f(x)=\frac{3-x}{ \sqrt{3(x+2)(-2x+1)}}$ $ (-2<x<0)$ とする
$f(x)$ が最小値を取るときの $x$ の値を求めよ

解答形式

解答は$-\frac{㋐}{㋑}$の形で表されるので、1行目に㋐を、2行目に㋑を半角数字で入力してください

問題

整数 $x,y$ と数列 $z_k=|x-k|+|y-k|$ に対し，次の命題は $xy\leqq 7!$ の反例を何組もつか．

• ある非負偶数 $k$ で $z_k\lt 2$ は，辺長 $x^3+8,\ y^3+8,\ 6xy+8$ の三角形が存在する必要条件である．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

設問4

数列 ${a_n}$ が $a_0=1, a_1=0, a_2=-1$ および漸化式
$$ a_{n+3} - 3a_{n+2} + 3a_{n+1} - a_n = 2^n \quad (n \ge 0) $$
を満たす。一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

設問1

数列 ${a_n}$ が $a_1 = 1, a_2 = 4$ および漸化式 $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = n \cdot 2^n$ ($n \ge 1$) を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

解答形式

半角1スペースで答えのみ

問題文

$202\times5$ のマス目があり，それぞれのマスに上下左右のいずれかの矢印が書かれており，以下の $2$ つを満たしました．

• 任意のマスについて，そのマスに書かれている矢印の方向に動くということを繰り返すことで元のマスに戻ることができる．

• 互いに向かい合っているような矢印は存在しない．

• $3$ 列目に書かれた $202$ 個の矢印の中に，左向きの矢印は存在しない．

条件を満たすように矢印を書き込む方法は $N$ 通りあります．$N$ を$2$ つの素数の積 $197\times199$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．