京大作サーマスガチャ2025 - SR22

問題文

$1$ 以上 $8$ 以下の数が $8$ 個あります．$8\times 8$ の白いマス目に，$8$ 個の数を棒グラフとして黒で書き込むことにしました．このとき，このマスから $2\times 2$ の正方形を切り取りとる方法のうち，黒マスがちょうど $2$ マスである方法の数を最初の $8$ 個の数のスコアと呼ぶことにします．$8$ 個の数の選び方 $8^{8}$ 通り全てに対してのスコアの総和を答えてください．

解答形式

末尾に「（通り）」などをつけず，非負整数で答えてください．

問題文

$ $　$0$ 以上 $9$ 以下の整数 $a, b, c, d$ に対し，数列 $(x_0, x_1, ..., x_{1110})$ を次のように定めます：

• $x_0 = a$ である．
• $(x_0, x_1, ..., x_{10})$ は公差 $b$ の等差数列をなす．
• $(x_{10}, x_{11}, ..., x_{110})$ は公差 $c$ の等差数列をなす．
• $(x_{110}, x_{111}, ..., x_{1110})$ は公差 $d$ の等差数列をなす．

$x_{1110}$ のとり得る値の総和を求めて下さい．

解答形式

答えは非負整数値であることが保証されます．半角英数にし，答えとなる非負整数値を入力し解答して下さい．

問題文

$x,y$を整数、$p$を素数とする。
$x^2-xy+y^2=2^p$を満たす組$(x,y,p)$をすべて求めよ。

解答形式

$x+y+p$の値としてありうる値の総和を半角数字で入力してください。

問題文

正整数値に対して定義され正整数値をとる関数 $f(x)$ は，任意の正整数 $a, b, c$ において，以下を満たしました．
$$
f(a)+f(b)+f(c)=f(abc)+2
$$また，$f(15)=15$ を満たすとき，$f(2025)$ としてあり得る値の総和を求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

偶数桁の回文数のうち、素数であるものをすべて求めよ。

解答形式

答えの総和を解答してください。

問題文

ある演算子⭐︎を次のように定めます。
$$
a⭐︎b=ab+a+b
$$
このとき、$x$についての方程式$x⭐︎(x+2)=-1$を解きなさい。

解答形式

「$x=$」の形から始めなさい。

問題文

$N=p^q-pq$とします。$N-1$が平方数、$p,q,\frac{N}{2},N+1,N+3$がいずれも素数になるような$N$としてありうる最小の値を求めてください。

解答形式

半角整数で答えてください。

問題文

x,y,zを自然数とする。
xy+xz = x+y+z となるような(x,y,z)の組はいくつあるか。

解答形式

数字のみを記入すること。例：3組ある場合は 3

問題文

正の実数 $x,y,z$ が $x+y+z=xyz$ を満たしているとき,

$$\dfrac{x}{1+x^2}+ \dfrac{y}{1+y^2}+ \dfrac{z}{1+z^2}$$

の最大値を求めてください.

解答形式

求める値は互いに素な正整数 $a,c$ および平方因子を持たない正整数 $b$ を用いて, $\dfrac{a \sqrt{b}}{c}$ と表せるから, $a+b+c$ を解答してください.

問題文

$1$ 以上 $5$ 以下の整数しか項に持たない全 $2025$ 項の数列があり，任意の連続する $3$ 項において以下を満たします．

• $3$ 項の順番を並び替えることで等差数列になる．

例えば，$1, 1, 1, 1, \ldots$ や $1, 3, 5, 4, \ldots$ は条件を満たします．このような数列は $N$ 個あります．$N$ を素数 $677$ で割った余りを求めてください．

解答形式

半角数字で解答してください．

問題文

$86^{48}-64$ を $864$ で割った余りを求めよ。

ボール100個をランダムに20人に分ける。10人が1組の生徒で、10人が2組の生徒である。ボールが全く貰えない人がいてもよい。全てのボールは区別できず、分け方は$ _{119}C_{19}$通りあるが、それぞれの分け方は同様に確からしい。
1組の生徒のうち、それぞれの持つボール数の総積をポイントとする。ポイントの期待値は互いに素なA,Bで$\frac{A}{B}$と表せるので、A+Bを解答せよ。