700A

以下で定義される関数 $f(n)$ について, $f(1000)$ を互いに素な正整数 $a,b$ を用いて, $\dfrac{a}{b}$ と表したとき, $ab$ が$2$ で割り切れる最大の回数を求めてください.

$$
f(n)=\sum_{m=1}^{n}\frac{(m+1)m^2n^{n-m-1}}{(n-m)!}
$$

問題文

数列 ${a_n}$ は $a_{n+1}=\dfrac{2a_n^2}{8-a_n^2}\ (n=1,2,\dots)$ を満たす．
$a_{2025}=-4$ となるような $4$ 以上の実数 $a_1$ の個数を $M$ とするとき，$M$ を素数 $2017$ で割った余りを求めよ．

解答形式

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問題文

区別できる6個の箱に区別できる球を12個入れる（球が1つも入っていない箱があってもよい）．
$i$ 番目の箱に入っている玉の数を $A_i$ とする．
入れ方すべてについて，積 $A_1^2 A_2^2\cdots A_6^2$ を計算し，その和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

$1$ 以上 $461$ 以下の整数からなる数列 $(a_1,a_2,\cdots,a_N)$ は以下を満たします.

• $a_1=309,a_N=461$.
• $a_n\neq 461\quad (n=2,3,\dots,N-1)$
• $n=2,3,\dots,N$ について, $(a_1+a_{n-1})a_n \equiv (1+a_1a_{n-1})\pmod{461}$

このとき, $N$ の値は一意に定まるので, $N$ の値を求めてください.
ただし, $461$ は素数であり, $2^n\equiv 1\pmod{461}$ をみたす正整数 $n$ の最小値は, $460$ であり, $3a_1\equiv 5\pmod{461}$ です.

問題文

3以上の正整数 $n$に対し, $$ {}_nC_1, {}_nC_2, \dots, {}_nC_{n-1} $$の $n-1$個の数から $n-2$個を選んだときのそれらの最大公約数を $d$ とする.
全ての選び方について $d$ の総和を $d(n)$とする.100以下の$n$であって, $d(n)\le100$となる $n$の個数を求めよ。

解答形式

半角数字で入力してください。

以下で定義される関数 $f$ について, $f(15000,25000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.
$$f(m,n)=\sum_{\ell=1}^{n}\sum_{\substack{a_1,\cdots,a_{\ell}\geq 1\\\\ a_1+\cdots +a_{\ell}=n}}(-1)^{\ell}\binom{m}{a_1}\cdots \binom{m}{a_{\ell}}$$
$$\quad$$

以下の整数 $2$ つの組からなる関数 $f(n,m)$ について, $f(30000,20000)$ を素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

• $n,m$ のいずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $f(0,0)=f(0,1)=f(1,0)=1$.
• $(n,m)\not \in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ であるとき, 以下が成立.
  $$f(n,m)+f(n-2,m)+f(n,m-2)=2f(n-1,m)+2f(n,m-1)+2f(n-1,m-1)$$.

以下の値を素数 $97$ で割った余りを求めてください.
$$\sum_{k=200}^{300}(-4)^{300-k}{}_{2k}\mathrm{C}_{k}\cdot {}_{k}\mathrm{C}_{300-k}\cdot {}_{2k-300}\mathrm{C}_{k-200}$$

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

$AB=2,AC=1$ をみたす三角形 $ABC$ の垂心を $H$，内心を $I$，外接円を $\Gamma$ とします．直線 $AH$ と $BI$ の交点を $D$ とし，$A$ における $\Gamma$ の接線と直線 $CD$ の交点を $X$ とすると，$AX=BX$ となりました．このとき，辺 $BC$ の長さを求めてください．ただし，求める値は，互いに素な正整数 $a,c$ と平方因子をもたない正整数 $b$ を用いて $\dfrac{a+\sqrt{b}}{c}$ と表されるので，$a\times b\times c$ を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください。

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.