没問

以下の式を満たす正整数の組 $(x,y,z)$ すべてについて，$xyz$ の総和を求めてください．
$$x^3+y^3+z^3+\dfrac{xyz}{16}=2026$$

$1^{2024}+2^{2024}+3^{2024}+4^{2024}+5^{2024}+…+2023^{2024}+2024^{2024}$を$17$で割った余りを求めよ。

元の問題を書き換えて別の問題にしました。前の問題は解いていただけなかったので別の問題に変えました。

解答形式

余りを自然数でお答えください

AさんとBさんは、黒板をつかって次のようなゲームをします。
ルール
・自分のターンでは、黒板に書かれている$1$以外の正整数を一つ選び、分割を行う。
自分のターン開始時に分割できる数がない場合敗北となる。
・分割...その数を$2$つ以上の正整数の和に分解すること。たとえば、$5$は$(4,1),(3,2),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,1,1),(1,1,1,1,1)$のいずれかに分割される。
はじめ、黒板には$1024$以下の正整数$X,Y,Z$が書かれています。Aさんから操作を開始し、両者が最適戦略をとりつづけるとき、Bさんが勝つような$(X,Y,Z)$の組の個数を求めなさい。

$m^{n+1}+n^m+1=2026$ を満たす正整数の組 $(m,n)$ を全てについて，$mn$の総和を求めてください．

問題文

ab-3c-d^2 = e …①
3cd+d^2+e^2 = abd …②
a+8+2d = b …③
a+11+e = b+3 …④
を全て満たす自然数の組(a,b,c,d,e)のうち、a+b+c+d+eが最小となるようなものを求めよ。

解答形式

a+b+c+d+e の値を半角数字で

問題文

単位立方体の内部からランダムに点を $2$ つ選んだときの平均距離を答えてください.

解答形式

答えは最大公約数が $1$ である正の整数 $a,b,c,d,e$ と互いに素な正の整数 $f,g$ と平方因子を持たない正の整数 $h,i,j,k$ と正の整数 $l,m,n$ を用いて
$$\frac{a+b\sqrt{h}-c\sqrt{i}-d\pi}{e}+\frac{\ln(l+\sqrt j)}{m}+\frac{f\ln(n+\sqrt k)}{g}$$
と表されるので, $a+b+c+d+e+f+g+h+i+j+k+l+m+n$ を解答してください.
ただし， $\ln x$ は $x$ の自然対数を表します．

注意

解説は用意していません

問題文

下の図において, $\triangle ABC$ と $\triangle BDE$ は二等辺三角形です. さらに,
$$\angle ABC=\angle BDE=90^\circ,\hspace{1pc} \angle EBC=60^\circ\\
BC=32, \hspace{1pc} DB=6\sqrt{2}$$ が成立します. 線分 $AE$ の中点を $M$ とするとき, 線分 $DM$ の長さを求めてください.
ただし, $E$ は $\triangle ABC$ の内側にあります.

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.

問題文

$2025$ 以下の正整数 $n$ であって，
$$\displaystyle\sum_{j=0}^{n}\displaystyle\sum_{i=j}^{2n-j} {}_{2n-j}C_{i}$$
が $6$ の倍数となるものの総和を求めよ．

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

勇者は座標平面上の原点 $(0,0)$ にいます． 勇者は点 $(6,6)$ まで $x$ 座標か $y$ 座標の少なくとも一方が整数である点のみを通って最短距離となるように移動します．

しかしながら，魔王の罠が直線 $\displaystyle{y=x+\frac{5}{2}}$ 上に張られていて，勇者は罠の張られている直線上を通るたびに $1$ ダメージずつ受けてしまいます．

勇者が最短距離で移動する道のりは ${}_{12}\mathrm{C}_6$ 通り考えられますが，それらすべてについて受けるダメージの平均値を求めてください．ただし，その平均値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\displaystyle{\frac{a}{b}}$ と書けるので $a+b$ の値を解答してください．

解答形式

答えは正の整数値となるので，その整数値を半角で入力してください．

$20\times26$のマス目のいずれかにおせちが置かれており，太郎君はおせちが置かれていないいずれかのマスから，通るマスの数が最小となるようにおせちまで移動します．
お年玉を太郎君が通ったマスの個数と定義するとき，
おせちと太郎君の初期位置すべてについて，お年玉の総和を求めてください．
ただし，最初のマスと最後のマスも通ったマスとみなします．

問題文

鋭角三三三角形 $ABCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC$ において，その外心を $O$，垂心を $H$，内接円を $\omega$ としたとき，$O,H$ はともに $\omega$ 上にあり，$\omega$ の半径は $1$ であった．
この条件下で線分 $OH$ の長さとしてありうる値の総積を $xxxxxxxxxx$ とする．$xxxxxxxxxx$ の最小多項式を $P$ として，$|P()|$ の値を解答せよ．ただし，$xxxxxxxxxx$ が最小多項式をもつことが保証される．

解答形式

半角数字を用いて解答せよ．解答すべき値が $$ でないことは保証される．

問題文

4×4の格子に，次の規則に従って，1マスに1つずつ，素数を入れる．

規則

・どの縦・横・斜めに並ぶ4つの数の和も，すべて等しくなるようにする．
・同じ数は2回以上使わない．

いま，図のように，一部のマスに数が記入されており，残りのマスに適切な数を入れることで，上の規則を満たすようにすべてのマスを埋めることができる．このとき，？のマスに当てはまる数を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．