解説
展開すれば
$$
\sum_{n=1}^{24}n^2+1\cdot2\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)+1\cdot3\left(\frac{x_1}{x_3}+\frac{x_3}{x_1}\right)+\ldots+23\cdot24\left(\frac{x_{23}}{x_{24}}+\frac{x_{24}}{x_{23}}\right)
$$
各項に相加相乗平均の関係を用いれば、$x_1=x_2=\ldots=x_{24}$のとき最小値をとり、その値は$\left(1+2+3+\ldots+24\right)^2=300^2=90000$。
ちなみに、Jensenの不等式
$$
\sum_{k=1}^nw_kf(x_k)\geq f\left(\sum_{k=1}^nw_kx_k\right)
$$
において$f(x)=1/x(x>0),w_k=k/\sum_{i=1}^ni$とすると、より一般的な形である次の式が得られる。
$$
\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{x_k}\right)\left(\sum_{k=1}^{n}kx_k\right)\geq \left(\sum_{k=1}^nk\right)^2
$$
$n=24$としたものが本問となる。
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