RS杯 11

問題文

整数辺を持つ直角三角形のうち、その斜辺を a、内接円の半径を r としたとき、等式
$a^2 - 4ar - 4r^2 = r$
を満たすものを考える。
そのような三角形すべてのうち、内接円の半径 r が 1000 未満であるもの全ての、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角スペースなし

問題文

整数辺の直角三角形の中で、ある特別な性質を持つものを「閉じた三角形」と呼ぶ。
その定義は次の通りである：
三角形の3つの頂点から、最も近い内接円の接点までの3つの線分を考える。その3つの線分の長さを3辺として、新たな非退化三角形を作ることができる。
この条件を満たすもののうち、斜辺が300未満であるもの全てを考え、それらの周長の総和を求めよ。

解答形式

例）ひらがなで入力してください。

問題文

正の実数に対して定義され，正の実数値を取る関数 $f$ であって，任意の正の実数 $x,y$ に対して，
$$
f(x)f(yf(x))=2024f(x+2024y)
$$
を満たすもののうち， $f(1)$ が整数になるものについて，$f(2)$ の整数部分としてありうる数はいくつありますか．

解答形式

半角数字で解答してください．

関数 $f:\mathbb{Z}^2\rightarrow \mathbb{Z}$ は以下を満たします.

• $f(0,0)=1$
• $n,m$ いずれかが $0$ 未満であるとき, $f(n,m)=0$.
• $(n,m)\neq(0,0)$ を満たす非負整数の組 $(n,m)$ に対して, 以下が成立.

$$
\begin{aligned}
&f(n,m)\\\\
&=f(n-1,m)+2f(n,m-1)\\\\
&+f(n-2,m)-f(n-1,m-1)-f(n,m-2)
\end{aligned}
$$
このとき$f(10000,10000)$ を 素数 $4999$ で割った余りを求めてください.

問題文

実数から実数への関数$f$であって任意の実数$x,y$について$$f(x)+f(f(y)+x)=f(f(x))+4y$$
が成り立つようなものを全て求めよ。

解答形式

簡単でいいので証明もお願いします。

数列${a_n},{b_n},{c_n}$を
$a_1=300,b_1=400,c_1=500$
$a_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2b_n^2+2c_n^2-a_n^2}$
$b_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2c_n^2+2a_n^2-b_n^2}$
$c_{n+1}=\dfrac12\sqrt{2a_n^2+2b_n^2-c_n^2}$
で定めるとき、3辺を$a_n,b_n,c_n$とする三角形の面積を$S_n$とする。
この三角形が退化しないことは証明できるので、$S_8$の値を求めよ。ただし、求めるべき値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac a b$と表せるので$a+b$を解答せよ。

問題文

九点円中心を$N$とする鋭角三角形$ABC$において，$BN$と$AC$の交点を$P$，$CN$と$AB$の交点を$Q$とする.直線$AC$に関して$B$と対称な点を$B'$，直線$AB$に関して$C$と対称な点を$C’$とし，$B'Q$と$C'P$の交点を$X$とするとき，以下が成立しました.$$\angle BAX=\angle NAX　\tan\angle ACB=\frac{5}{6}　AB=10$$このとき，三角形$ABC$の面積を求めて下さい.

解答形式

半角で解答して下さい.

問題文

3辺の長さがすべて整数である直角三角形を考える。その斜辺を$a$、直角を挟む2辺を$b, c$とする。

これらの辺の長さが、以下の関係式を満たしているという。
$$7a = 5(b+c)$$
この条件を満たす全ての直角三角形のうち、斜辺 $a$ が$10$の倍数であり、かつ $a < 200$ であるもの全てを考える。

それらの三角形の、面積の総和を求めよ。

解答形式

半角でスペースなし

問題文

4x4のマス目のうち1つを、更に4x4に分割します。いくつかのマスで長方形を作るとき、何種類の長方形を作れますか。？
但し、同型でも場所が異なるなら違う種類と見なします。

解答形式

半角数字で入力してください。

問題文

鋭角三角形 $ABC$ について, 垂心を $H$, 内心を $I$, 外心を $O$ とし, また, $C$ から $AB$ に下した垂線の足を $D$, $B$ から $AC$ に下した垂線の足を $E$, $A$ から $BC$ に下した垂線の足を $F$ とします. すると, $H,I,O$ は相異なり, かつ $AH=AO=10,HI:HO=41:80$ が成立しました. このとき, $DF+EF$ は互いに素な正整数 $a,b$ と平方因子を持たない正整数 $c$ によって, $\cfrac{b \sqrt{c}}{a}​​$ と表されるため, $a+b+c$ の値を解答して下さい.

解答形式

半角整数値で解答して下さい.

問題文

$p$を$0$以上$1$以下の実数とします．$A$と$B$の二人は，円形の的を用いて次のようなダーツ遊びをします．

• $A,B,A,B,\dots$の順に，的に向かって交互に矢を投げる．
• $A$は直前に$B$が投げた矢よりも中心に近い位置に矢が刺されば成功となる．ただし$1$回目は必ず成功とみなす．
• $B$は直前に$A$が投げた矢よりも中心から遠い位置に矢が刺されば成功となる．
• $n$回目に矢を投げたプレイヤーは，成功すると$p^n$点を得る．成功しなかった場合，その時点でゲームを終了する．

矢の刺さる位置が的の中で一様ランダムに決まると仮定するとき，ゲームが終了するまでに$A$が得られる得点の期待値を$f(p)$とし，$B$が得られる得点の期待値を$g(p)$とします．$f(p)=\dfrac{20}{21}$であるとき，$g(p)$の値は互いに素な正整数$a,b$を用いて$\dfrac{b}{a}$と表せるので，$a+b$を解答してください．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$\angle ABC $ と $\angle BCA$ が鋭角であるような $\triangle ABC$ について，辺 $BC$ の中点を $M$ とします．また，$M$ から辺 $AB,AC$ におろした垂線の足をそれぞれ $P, Q$ とすると、線分 $AM, BQ, CP$ が一点で交わります．

$$ AB = 12, \ \ BC= 20 $$

のとき，$\triangle ABC$ の面積の二乗としてありうる値の総和を解答してください。

解答形式

答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください．