この問題はコンテスト「ABC5(Atawaru Beginner Contest 5)」の問題です。
解説
$abc=x$ とすると，条件は$$\left\{
\begin{aligned}
ab^2&=3-x\\
bc^2&=4-x\\
ca^2&=42-x
\end{aligned}
\right.$$と変形できるので，$a^3b^3c^3=(3-x)(4-x)(42-x)$ である．つまり，$(3-x)(4-x)(42-x)=x^3$ であり，これを変形すると $2x^3-49x^2+306x-504=0$ ，つまり $(x-6)(2x^2-37x+84)=0$ となる．これより，この $3$ 次方程式は相異なる $3$ 解を持つので，それらを $x_1,x_2,x_3$ とする．$i=1,2,3$ について，$abc=x_i$ なる組 $(a,b,c)$ の個数は，$a\neq0,x_i\neq0,4,42$ および与式から$$c=\dfrac{42-x_i}{a^2},b=\dfrac{(4-x_i)a^4}{(42-x_i)^2},a^3=\dfrac{(42-x_i)x_i}{4-x_i}$$を得るのでそれぞれ $3$ 個である．以上と解と係数の関係より $abc$ の総和は $3×\dfrac{49}{2}=\dfrac{147}{2}$ であり，解答すべき値は $\mathbf{149}$ ．
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