【補助線主体の図形問題 #010】
今年2021年の1月末から投稿を初めて10問目となりました。キリ番記念(?)に少しばかり手ごたえのある問題をお送りすることにします。うまい補助線を引けるだけでは不十分で、補助線を活かすための発想も必要です。じっくり腰を据えて補助線を戯れてみてください!
${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
\renewcommand\deg{{}^{\circ}}
\def\jpara{\mathrel{\unicode{x2AFD}}}
}$ 解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
(例) $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$ $10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$ $\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
入力を一意に定めるための処置です。
たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。
$\mathrm{B}'$や$\mathrm{D}'$と同様に、六角形$\mathrm{ABCDEF}$を対角線$\mathrm{AE}$で折り返し、頂点$\mathrm{F}$が移動した先を$\mathrm{F}'$とします。$\mathrm{F}'$の位置を正確に決めるために、この図形の性質を探りましょう。
$7\cm$の辺と$8\cm$の辺をペアにすることで角度がいくつか求まります。また、折り返しの対称性から平行な辺のペアが見つかります。
$\mytri{ACE}$は正三角形で、ここから複数の$60\deg$と$120\deg$が見つかります。また、$\mytri{ABC}$と$\mytri{AFE}$の折り返しから$\mathrm{BF} \jpara \mathrm{F'B'}$が導け、同様にもう1組平行な辺のペアが見つかります。そろそろ$\mathrm{F'}$の位置が特定できたでしょうか。
$\mathrm{F}'$は線分$\mathrm{ED'}$の延長線上にあります。$\mytri{B'D'F'}$はどんな三角形でしょうか。実は相似三角形が存在します。
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