公開日時: 2020年7月8日17:37 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$\mathbb{R}^3$上の単位球面
$$
S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}
$$に対して,その開部分集合 $U=S^2\setminus \{(x,y,z)\in S^2 \mid x\geq 0, y=0\}$ を考える。また,$\mathbb{R}^2$ の部分集合を
$$
V=\{(\theta, \varphi)\in\mathbb{R}^2\mid -\pi/2 < \theta < \pi/2, \;0<\varphi <2\pi\}
$$とおく。
写像 $f:V\to U, g: V\to \mathbb{R}^2$ を次のように定める。
\begin{align}
f(\theta, \varphi)&=(\cos\theta\cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, \sin\theta)\\
g(\theta, \varphi)&=(\varphi \cos\alpha, \sin\alpha)
\end{align}ただし,$\alpha$ は,関係式
$$
\sin 2\alpha+2\alpha=\pi\sin\theta
$$の唯一の解である。$g$ が単射であることは証明なしに用いてよい。
(1) $(\xi, \eta)=g(\theta, \varphi)$ とし,行列
$$
J(\theta, \varphi)=\begin{pmatrix} \cfrac{\partial\xi(\theta, \varphi)}{\partial \theta} & \cfrac{\partial\eta(\theta, \varphi)}{\partial \theta} \\ \cfrac{\partial\xi(\theta, \varphi)}{\partial \varphi} & \cfrac{\partial\eta(\theta, \varphi)}{\partial \varphi} \end{pmatrix}
$$を考える。このとき
$$
|{\rm det}\,J(\theta, \varphi)|=\fbox{ア}\cos\theta
$$である。
(2) 領域 $g(f^{-1}(U))$ の面積は $\fbox{イ}$ である。
空欄 $\fbox{ア}$, $\fbox{イ}$ には正の実数が当てはまる。これを $10$ 進小数に表し,小数第 $4$ 位以降を切り捨てたものを改行区切りで半角数字 0-9
およびピリオド .
を用いて入力しなさい。例えば,$1.2345\cdots$ を当てはめるなら 1.234
と解答すること。
公開日時: 2020年7月8日11:14 / ジャンル: 謎解き / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
例)苗字のみひらがなで入力してください。
公開日時: 2020年7月7日18:22 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
図中の青い線分の長さはすべて10,赤で示した角はすべて等しいです。
このとき、緑色部分(凹四角形)の面積を求めてください。
解答形式に注意!
$答えはA\sqrt{B}の形になります。(A,Bは自然数)$
$A+Bを解答してください。$
$<注意>$
$根号の中が最小となるようにしてください。$
$半角数字で解答してください。$
$例 : green area=10\sqrt{8}=20\sqrt{2}→A=20,B=2→22 と解答$
公開日時: 2020年7月4日12:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
円の一部を折り返した図形です。赤、青の線分の長さがそれぞれ
7,3のとき、円の半径を求めてください。(解答形式に注意!)
折り返した円弧部分は元の円の中心を通ります。
Mは弧ABの中点です。
2020/07/04/13:29 解答に誤りがあったため更新しました。
$自然数A,B,Cを用いてradius=\frac{A\sqrt{B}}{C} と表せます。
A+B+Cを解答してください。$
$A,Cは既約分数の形に、Bは根号の中が最小となるようにしてください。$
$例: \frac{4\sqrt{18}}{6}=2\sqrt{2}→A=2,B=2,C=1→5と解答$
公開日時: 2020年7月3日20:56 / ジャンル: 謎解き / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
ひらがなで入力してください。
公開日時: 2020年7月3日4:22 / ジャンル: 謎解き / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
半角数字で入力してください。
公開日時: 2020年7月2日21:38 / ジャンル: その他 / カテゴリ: 言語学クイズ / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
以下に,重複を除いた最初の $11$ 個のフィボナッチ数とそのチュクチ語訳がある。数字は小さい順,チュクチ語は辞書式順序で並んでいる。
$$
1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
$$
ənnen
mənɣətken ŋəroq paroɬ
mətɬəŋen
ŋer'amətɬəŋqɬekken ŋəraq paroɬ
ŋəraqqɬekken ŋər'amətɬəŋen paroɬ
ŋər'omətɬəŋen
ŋəroq
ŋireq
ŋireqqɬikkin kəɬɣənken paroɬ
qɬikkin ənnen paroɬ
qɬikkin mənɣətken ŋəraq paroɬ
ŋəroq
× ŋer'amətɬəŋen
= qɬikkin ənnen paroɬ
ənnenmətɬəŋen
だと予想したが、これは誤りであることが分かった。正しい答えをチュクチ語で書きなさい。mətɬəŋen
× $\fbox{ X }$ = qɬikkin mənɣətken paroɬ
⚠︎ チュクチ語はチュクチ・カムチャツカ語族に属する。ロシア・チュクチ自治管区で約5,000人が使用している。
ɣ
ɬ
ŋ
q
'
は子音である。ə
は母音である。
*7/19 9:30 ヒントを追加しました。
*7/20 0:06 ヒントを追加しました。
1x1=1
(掛け算記号には x
を用い,スペースを入れないこと)