小数第20位～23位に2023が並ぶ小数

問題文

図の条件のもとで、緑の正三角形の面積を求めてください。

※ hexagram : 六芒星

解答形式

半角数字で回答してください。

問題文

数列$a_n$を次のように定める。
$a_1=1$
$a_n=n^{a_{n-1}}$
このとき、以下の問いに答えなさい。
(1)$a_{2023}$の一の位はいくつか求めよ。
(2)$a_{2024}$の一の位はいくつか求めよ。
(3)$a_{2024}$の百の位はいくつか求めよ。

解答形式

(1) ~~~
(2) ~~~
の形でお願いします。問題番号と解答、一つの小問の解答と解答の間は半角スペースを開けてください。
解答は数字のみお書きください。

問題文

$a^n+b^m=2024(a>b>0,n>1,m>1)$である自然数の組$(a,b,n,m)$をすべて求めよ。

解答形式

解答と解答を改行区切りで入力してください。

2023/11/8追記

(a,b,n,m)
という形で解答をしてください。
複数ある場合は前述の通り改行区切りで入力してください。
また、aが小さい順に、aが同じ場合はbが小さい順に解答してください。

2023/11/24追記

こちらのミスで自動判定の解答が指定した回答形式とあっていませんでした。すみませんでした。

問題文

自然数 $n$ に対し，次のように定められた数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\},\{c_{n}\}$ がある：

• $a_{1}=2023^{2023}$
• $a_{n}$ を $120$ で割った商が $b_{n}$，余りが $c_{n}$
• $a_{n+1}=b_{n}+c_{n}$

このとき，$\lim_{n\to\infty}a_{n}$ を求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．

【補助線主体の図形問題 #101】
　こちらは図形問題通算100問目 https://pororocca.com/problem/1251/ の続きにあたる問題です。100問目を正解したうえでこちらに挑戦するのをお勧めします。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、$x$ で示した角の大きさを求めてください。
ただし、外側の三角形は鋭角三角形であるとします。

解答形式

$x=a$ 度です $(0<a<30)$ 。$a$ の値を半角数字で解答してください。

【補助線主体の図形問題 #122】
　今週の図形問題です。今回は面積関係を問う問題です。想定解の計算量は大したことないのですが、いくぶん面倒かもしれません。じわじわと確定する面積を探しつつお楽しみください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm^2$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm^2$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm^2$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

nを自然数とする。各位の数の積をs(n)とするとき、s(n)=nを満たすnの総和を求めよ
ただし、nが１桁の時s(n)=s(10＋n）が成り立つとする

解答形式

半角数字で入力してください

問題文

図の条件の下で，線分 $AB$ の長さを求めてください．
※orthocenter：垂心，circumcenter：外心

解答形式

$AB^2$ の値は互いに素な正整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ の値を解答してください．

【補助線主体の図形問題 #099】
　今週の図形問題は、通算99問目ということで正九角形を取り上げてみました。タネがわかれば余裕で暗算処理可能です。まずは紙＆筆記具を使わずに頭の中で補助線を思い浮かべながら挑戦してみてください。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

【補助線主体の図形問題 #098】
　今週の図形問題の素材は垂心です。いろいろなところに現れる直角をうまいこと処してください。

解答形式

${
\def\cm{\thinspace \mathrm{cm}}
}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。
（例） $12\cm$ → $\color{blue}{12.00}$　　$10\sqrt{2}\cm$ → $\color{blue}{14.14}$　　$\dfrac{1+\sqrt{5}}{2} \cm$ → $\color{blue}{1.62}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　たとえば答えに無理数を含む場合、$\sqrt{2}=1.41$や$\pi=3.14$などでは必要な桁が足りない場合があるのでご注意ください。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

図の条件の下で、線分 $CG$ の長さを求めてください。
※図中の各線分の長さの比は正確とは限りません。

解答形式

互いに素な正整数 $a,b$ によって $CG=\dfrac{a}{b}$ と表せるので、$a+b$ の値を半角数字で解答してください。