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円 $\Omega$ に内接する三角形 $ABC$ があり，$AB=13,BC=14,CA=15$ を満たしています．
　線分 $BC$ の中点を $M$，$A$ を通り直線 $BC$ と直交する直線と $\Omega$ との交点のうち $A$ でない方を $D$ とします．
　直線 $AM,DM$ と $\Omega$ との交点のうちそれぞれ $A,D$ でない方を $P,Q$ とし，直線 $BC$ と直線 $PQ$ との交点を $R$ とするとき，三角形 $MQR$ の面積は互いに素な正の整数 $a,b$ を用いて $\dfrac{a}{b}$ と表せるので，$a+b$ を解答してください．

問題文

$8$ つのアルファベット $\mathrm{I, M, L, I, M, R, I, M}$ を並べて得られる文字列であって，$\mathrm{L}$ が $\mathrm{R}$ より左にあるでかつ，$\mathrm{I}$ の右隣に $\mathrm{M}$ が来るものはいくつありますか．

問題文

$a, b$ を非負整数とします。xy平面上の点 $(0, 0)$から点 $(a, b)$まで、$x$ 軸正方向に1進むか、$y$ 軸正方向に1進むかで到達するための道の数を $C(a, b)$ とします。

$0 \leq a < 1100 $ かつ $0 \leq b < 1100 $ であるような非負整数組 $(a, b)$ であって、$C(a, b)$ が奇数であるようなものの個数を答えてください。

解答形式

答えは非負整数なので，その数値を回答してください．OMCと同じです．

問題文

正 $12$ 面体の $20$ 個の頂点に，$20$ 個の数字
$$
1\cdot 1!, \quad 2\cdot 2!, \dots \quad 20\cdot 20!
$$
を配置します．この正 $12$ 面体の各面の正五角形に対し，その頂点に置かれた $5$ つの数字の総和を書き込みます．面に書き込まれた $12$ 個の数字の総和は配置の仕方によらず一意に定まるので，$S$ を $2024$ で割った余りを解答してください．

$N=9000^2\times 9001$ とし, 以下の条件を満たす整数の組の列 $(x_0,y_0,z_0), (x_1,y_1,z_1) ,\dots,(x_{N},y_{N},z_{N})$ を良い列 と呼びます.

• $(x_0,y_0,z_0)=(x_{N},y_{N},z_{N})=(0,0,0)$.
• $n=1,2,\dots,N$ について, $(x_n-x_{n-1},y_n-y_{n-1},z_n-z_{n-1})$ は $(1,-1,0)$ の $6$ 通りの並べ替えまたは $(0,0,0)$ のいずれかに等しい.

このとき良い列について $(x_i,y_i,z_i)=(x_{i-1},y_{i-1},z_{i-1})$ を満たす $i\;(i=1,2,\dots,N)$ の個数を $k$ としたとき $2^k$ をその列の 良さ とします. 良い列すべてについてその良さの総和を $S$ とします. このとき $S$ を素数 $8999$ で割った余りを求めてください.

問題文

以下の無限級数の値を求めてください。
$$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2 \binom{2n}{n}} $$
ここで、
$$
\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}
$$は中央二項係数です。

解答形式

$\frac{9^2}{5}$の場合は、9^2/5のように解答してください。

問題文

以下によって定義される整数 $N$ を素数 $13907$ で割った余りを求めてください．$$N=\prod_{k=1}^{13906} (k^2+2025)$$

解答形式

13906以下の非負整数で解答してください

問題文

$55 = 55$
$56 = 57$
$57 = 58$
のとき、 $3776 =$ ？

解答形式

数字で入力してください

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許すとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。
(似た問題を投稿しています。解答する場所を間違えないように注意してください。)

解答形式

互いに素な正整数p,qを用いてp/qと表せるため
p+qを解答してください。

問題文

0,1,2,……,8 の数字から一つずつ選んでa,b,c,d,e,f,gに代入するという操作を考える。
数字の重複を許さないとき、十進表記された7桁の数abcdefgが3の倍数となる確率を求めよ。
ただし、a=0の場合も認めます。

解答形式

互いに素な正整数q,pを用いて
p/q と表せるため、p+qを解答してください。

問題文

純循環小数(少数第一位から循環する循環小数)$x$を定義域とする関数$f(x)$を、$x$の循環部とする。ただし、循環部に0が現れ、それより大きい位に0以外の数がない場合、その0は無視するものとする。$f(\frac{5}{33})=15,f(\frac{4}{3333})=12$といった具合である。
正整数$n$に対して、$n<m<2025^{2025}$なる正整数$m$であって、$n$の値にかかわらず以下の等式を満たすものはいくつあるか。
$$f(\frac{n}{m})=(m−2)n$$
必要ならば、$$0.30102<\log_{10}2<0.30103,　0.47712<\log_{10}3<0.47713$$
を用いてよい。

問題文

以下の条件を満たすような正整数$a,b,c$が存在するので,そのような$a,b,c$の組を$1$つ答えてください.
・ある奇素数$p$,正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p^N$で割り切れない.

解答形式

$(a,b,c)$と,この組に対して条件を満たす$p$を$1$つ用いて「$(a,b,c)$、条件を満たす$p$は～～」というように解答してください.

得点について

・誤答の場合$0$点.多少の書式の違いは認めます.

・正答の場合,$p_k$を$k$番目に小さい奇素数としたときに任意の$k=1,2,...s$に対して「ある正整数$N$が存在し,ある正整数$n$が存在して$a^n+b^n+c^n$が$p_k$で割り切れ,かつ任意の正整数$n$に対して$a^n+b^n+c^n$は$p_k^N$で割り切れない.」が成り立つような$s$の参加者全体中の最大値を$x$,あなたの解答に対する値を$y$としたとき$\dfrac{100y}{x}$以上の整数の内最小のものをあなたの得点とします.ただしこの値が$0$に等しい場合は$1$点とします.

・複数の提出があった場合は最後の提出のみを判定します.