全問題一覧
公開日時: 2023年12月14日13:51 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
整数
問題文
以下の条件をともに満たす 12 桁の正整数 M はいくつありますか？
- M を 3 桁ずつに区切って得られる 4 つの正整数を左から A,B,C,D として定めると，|A−B+C−D| は 11 の倍数かつ 13 の倍数となる．
- M を 4 桁ずつに区切って得られる 3 つの自然数を左から E,F,G として定めると，|E−F+G| は 137 の倍数となる．
ただし，M,A,E の最高位の数字は 0 でないものとします．
解答形式
条件を満たす 12 桁の正整数 M の個数を，半角数字で余分な空白や改行を入れずに解答してください．
公開日時: 2023年12月12日23:43 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 中学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
円 幾何
問題文
三角形 ABC の辺 AB,AC （端点を除く）上にそれぞれ点 P,Q があり，直線 BC,PQ は，半直線 BC 上の点 R で交わっています．また，線分 BC,PQ 上にそれぞれ点 M,N があり， BMMC=PNNQ=BRRC を満たしています．いま，直線 AN と △ABC の外接円の交点のうち，A でない方を X としたところ，∠MNR=∠MXR=90∘，∠BXM=63∘ がそれぞれ成り立ちました．このとき，∠BAC の大きさを度数法で求めてください．
解答形式
半角数字で解答してください．
公開日時: 2023年12月10日18:57 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
方程式 複素数
問題文
n∑k=1x−2k=0[n∈N]
というxの方程式がある。
このとき、以下の問いに答えよ。
なお、この方程式には実数解が存在しない。
1)実数解を持たないことを示せ。(証明必須)
2)解の個数を示せ。(証明不要)
3)n=4の時の解の全てを示せ。(証明不要)
解答形式
1)には証明を、
2)には数値もしくは数式を、
3)には直交座標表示もしくは三角関数による極座標表示を推奨する。
例
1)自明
2)1729n+65536
3)x=1+3i,3(cosπ/3+isinπ/3)
もちろんこれらが答えでは無い。
メモ
2)を解く際は解の式を作成するべきだろう。
wolfram alphaに頼ることはおすすめしない。
公開日時: 2023年12月1日21:01 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
組み合わせ
問題文
赤玉 20 個と青玉 21 個の計 41 個の玉を横一列に並べます. このとき, 左から 1 番目から 20 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を R, 青玉の個数を B, 左から 22 番目から 41 番目までの玉の中に含まれる赤玉の個数を r, 青玉の個数を b とします. 玉の並べ方は全部で (4120) 通りありますが, その全ての並べ方に対する Rb+Br の値の相加平均を求めて下さい.
解答形式
答えは互いに素な正整数 a,b を用いて ba と表されるため, a+b の値を解答して下さい.
公開日時: 2023年11月22日23:27 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
初等幾何 円 悪問
問題文
円 ω 上に相異なる 2 点 A,B がある．ただし，弦 AB は ω の直径ではない．A,B における ω の接線をそれぞれ l,m とする．劣弧 AB 上（端点を除く）に点 P をとり，P を通り l に平行な直線と ω の交点であって，P でないものを C とし，P を通り m に平行な直線と ω の交点であって，P でないものを D とする．l と直線 BC の交点を E，m と線分 AD の交点を F とする．また，線分 AF と線分 BE の交点を X，線分 CF と線分 DE の交点を Y とする．AB=√69，AC=3，BD=6 がそれぞれ成り立っているとき，線分 XY の長さは，互いに素な正整数 a,c および平方因子を持たない 2 以上の整数 b を用いて a√bc と表されるので，a+b+c の値を求めよ．
解答形式
半角数字で解答してください．
公開日時: 2023年11月16日23:54 / ジャンル: 謎解き / カテゴリ: / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
問題
※回答はカタカナ４文字で入力してください！
公開日時: 2023年11月12日7:35 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
組み合わせ
100×100 のマス目があります. 上から i 行目, 左から j 列目のマスを 100(i−1)+j と呼ぶことにします. SMC 君は一般的な 6 面サイコロを 10000 回振り, i 回目に振って出た目をマス i に書き込みます. このとき, 以下の条件を満たす確率を p とするとき, 610000p は整数になるので, 素数 3299 で割った余りを求めてください.
- 任意の行について, その行のマスに書かれた整数の総和は偶数.
- 任意の列について, その列のマスに書かれた整数の総和は 3 の倍数.