全問題一覧

問題文

半径$66$の円に内接する正$66$角形の対角線(各辺も含む)の長さの$66$乗和を求めて下さい．
但しある長さの$𝑛$乗和とは，与えられた長さ$P_1,P_2…$について${P_1}^n + {P_2}^n …$を指します．

解答形式

答えを$2025$で割った余りを半角数字で入力してください．
4/26 19:55 誤った答えが入力されていました．大変申し訳ありません．

問題文

$29$進法において$S,K,G,6,5$の$5$文字を並べ替えてできる$5$桁の数$120$個の和を$10$進法に直して答えよ．
但し$29$進法と$10$進法の対応は以下の通り．
・$0〜9→$変わらない．
・$10$進法における$10〜28→29$進法ではそれぞれ$A,B……,R,S$と書く．
・$10$進法における$29→29$進法では$10$と書く．

解答形式

半角数字で入力してください．

問題文

$R_{a}をa$桁のレピュニット数とします．
$R_{24}$を素因数分解しなさい．
但しレピュニット数とは，各桁が全て$1$である数のことを指します．

解答形式

ある相異なる正整数$a_{1}…a_{10}$を用いて，
$R_{24}=a_{1} \times a_{2} \times … \times a_{10} $と書けるので，$a_{1}+…+a_{10}$の値を求め，半角数字で入力して下さい．

問題文

次の虫食い算について，$SUKEN=？$

解答形式

半角数字で入力して下さい．
但し$S≠E≠I≠K≠O≠U≠N$とします．

問題文

SKG学院では$5×5$のマス目を使い，とあるゲームが行われている．
ゲームのルールは以下の通り．
・お客さんと生徒がじゃんけんをする．勝った方が先手，負けた方が後手となる．
この時あいこは考えないものとする．
・先手は黒の碁石，後手は白の碁石をマスの上に交互に置いていく．
・同じマスには碁石は一つまでしか置けない．
・マス目が全て埋まった時,各行について次の条件を満たすものを特別な行と呼び，その個数を数える．
特別な辺：ある行の$5$マスを見た時お客さんが置いた碁石の個数が偶数個であるもの．
・特別な行の個数が偶数であればお客さんの勝ち，奇数であれば生徒の勝ちとなる．

お客さんが勝つ確率を$A$，お客さんが勝つ時の碁石の置き方の総数を$B$とする．
$A×B$の値を求めなさい.
但し回転して重なるような碁石の置き方は区別しないとする．

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

NK君は誕生日を迎えました．
そのことを友達のGW君に伝えようと思っています．
そのまま言っては面白くないので，日付についてこう述べることにしました．
「僕の誕生日は，月と日をくっつけると$179$の倍数になるよ」
NK君の誕生日を求めて下さい．

解答形式

半角数字で値を入力して下さい(/も忘れずに)
幾つか例を置いておきます.
1月1日⇒1/1
12月1日⇒12/1
1月12日⇒1/12
12月12日⇒12/12

問題文

$10000$ 以下の正整数の組 $(x,y,z)$であって次を満たすようなものについて， $xyz$ の総和を素数 $2113$ で割った商を求めて下さい．

$$ 2113\sqrt{x^2+y^2+z^2}=25x+60y+2112z$$

解答形式

半角数字で入力して下さい．

問題文

接点・共通領域を持たない円$A,B$があり，これらの中心を通る直線$l$との交点を$P,Q,R,S$とします．($P≠Q≠R≠S$)

但し$P,Q$が$A$の円周上，$R,S$が$B$の円周上にあり，$P,Q,R,S$の順に並ぶとします．

また$PS,QR$の長さをそれぞれ$a,b$と置きます．

この時$A,B$の共通内接線の長さが$2025$となるような$(a,b)$の組として考えられるものは何通りありますか．

解答形式

半角数字で解答して下さい．

問題文

ある町 $A$ がある. 町 $A$ にはいくつかの家と$,$それらを双方向に結ぶいくつかの道路からなる. さらに$,$ 以下の条件を満たす.

・家は $2025$ 個からなり$,$ $1$$,$ $2$$,$ ⋯$,$ $2025$の番号がつけられている.
・道路は $2024$ 本ある.
・どの家からどの家へまでもいくつかの道路を通って移動可能である.

また$,$ 家 $i$ の 便利さ を以下のように定義します. ( $i$ の番号が付けられている家を家 $i$ と呼びます. )
$$
i \times (家iからちょうど1本の道路を通って移動可能な家の数)
$$

さらに$,$ 町 $A$ の スコア を$,$ すべての家の 便利さ の総和と定義します.

道路の結ばれ方としてありうるものすべてについて$,$ 町 $A$ の スコア の総和の正の約数の個数を求めてください.

解答形式

スコア の総和の正の約数の個数を求め$,$ 1行に半角で解答してください.
必要であれば電卓や素数表を用いてください.

正の整数 $m$ に対し,
$$f(m)=\sum_{k=0}^m(k+1)k2^k\frac{(2m-k-1)!}{(m-k)!}$$
と置きます.このとき, $f(5000)$ を素数 $5003$ で割った余りを求めてください.

問題文

それぞれの面に $1,2,3,4,6,9$ が書かれたどの面も等確率に出る $6$ 面サイコロ $D$ があります．
$D$ を $1018$ 回転がしたときを考える．その出た目の総積を $T$ とし，そのときのスコアを以下のように定義します．

• $T$ が平方数のとき， $T$ の正の約数の個数をスコアとする．
• $T$ が平方数でないとき， $T$ の正の約数のうち $6$ の倍数であるものの個数をスコアとする．

スコアの期待値が非負整数 $A$ を用いて $\dfrac{A}{6^{1018}}$ と表せるので $A$ を素数 $1013$ で割ったあまりを求めてください．

解答形式

半角数字で非負整数を入力してください。

$a,b,c\ (a\neq0)$ を実数とする．放物線 $y=ax^2+bx+c$ が，$3$ 直線
$\ y=x-2,\ y=-3x+2,\ y=7x-3$
の全てと接するとき，$a,b,c$ の値を求めよ．

答えは，$a,b,c$ の値をそれぞれ $1,2,3$ 行目に記入せよ．ただし，整数でない有理数は既約分数(分母は自然数，分子は整数で，互いに素)で表し，$\displaystyle\frac{-5}{13}$ なら
-5/13
のように記入して答えよ．

【解答例】
1
-2
-1/3