中三なら簡単？階乗に関する問題

問題文

1 ︎ ︎ ︎ ︎ ︎ ︎1 ︎ ︎ ︎ ︎ ︎ ︎1
─ ＋ ─ ＝ ─
a ︎ ︎︎ ︎ ︎ ︎ ︎b ︎ ︎ ︎ ︎ ︎12
を満たす自然数a,bの組を全て求めよ。
︎ ︎ただし、a＜bとする。

解答形式

(a,b)＝(？,？),(？,？)……というようにして半角数字・記号で回答してください。()と()の間にも忘れずにコンマ(，)を入れてください。

問題文

$n$を$5$以上の自然数とする。
$a_{1}+a_{2}+a_{3}<a_{4}+a_{5}\leq n$ を満たす自然数の組$(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5})$は何通りあるか。

解答形式

答えは$\frac{\fbox{あ}n^5-\fbox{い}n^4+\fbox{う}n^3-\fbox{え}n^2+\fbox{お}n}{\fbox{か}}$と表せます。
この分数式が既約な形になるように、それぞれの文字に当てはまる整数を、半角数字で、五十音順に改行して答えてください。
(例)$\fbox{あ}=2,\fbox{い}=10,\fbox{う}=4$と回答する場合
2
10
4

問題文

$$\quad$$鋭角三角形の三辺の長さが $22_{(N)},$ $124_{(N)},$ $130_{(N)}$ である。
自然数 $N$ の満たす条件を求めよ。
$$\quad$$

解答形式

半角で入力してください。
$N$ の値が一意に定まる場合は、その値を入力してください。
$N$ の値に範囲がある場合は、最小値~最大値という形式で入力してください。ただし、最大値が存在しない場合は、最小値~という形式で入力し、複数の区間が存在する場合は最小値が小さいものから改行区切りで入力してください。
例) 解答が $N=17, 22≦N≦30, 330≦N$ の場合
17
22~30
330~

問題文

正方形と正三角形を組み合わせた以下の図形について、赤線の長さが6であるとき、図形全体の面積を求めてください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

2023-N=√(73x)とする。
Nが整数のとき、Nの絶対値が最小となるようなxを求めよ。ただし、xは自然数とする。

解答形式

そのまんま半角でどうぞ(｀∇´)

問題文

$2^{n}+6n+1$が平方数となるような自然数$n$の値をすべて求めよ．

解答形式

半角数字で解答してください．解が複数ある場合は，小さいものから順に，1行に1つずつ書いてください．

問題文

小さい方から $n$ 番目の素数を $p_{n}$ とおく。
次の極限を調べよ。
$$
\lim_{n\to \infty}\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{5}{4}\cdot\frac{7}{6}\cdot\frac{11}{10}\cdot\frac{13}{12}\cdots\frac{p_{n}}{p_{n}-1}
$$

解答形式

発散する場合

以下のように入力してください。
正の無限大に発散する場合 : ∞
負の無限大に発散する場合 : -∞
振動する場合 : 振動

収束する場合

半角英数字で入力してください。
分数は規約分数で1つにまとめて{分子}/{分母}の形で入力してください。
累乗は{底}^{指数}の形で入力してください。根号は累乗の形に直してください。
対数は自然対数に揃えてlog{真数}の形で入力してください。
自然対数の底はe,円周率はπと表記してください。
例1) $\sqrt{2} e^{3}$ の場合 : {2}^{{1}/{2}}{e}^{3}
例2) $\log_{2}3$ の場合 : {log{3}}/{log{2}}

問題文

$x$の4次方程式
$$
x^{4}-5x^{3}-2(n+7)x^{2}+5nx+n^{2}=0
$$が異なる4つの整数解をもつとき、整数$n$の値を求めよ。

解答形式

半角数学で解答してください。
また、$n$の値が2つ以上ある場合
改行して小さい順に並べてください。

(例) $n= -5 , -4$ のとき
-5
-4

【補助線主体の図形問題 #063】
　今週はシンプルな難角問題を用意してみました。4頂点に対しすでに6線分が引かれていますから、補助点を打たなくてはなりません。要となる補助点を試行錯誤で探す楽しみを味わってもらえたら幸いです。

解答形式

${\renewcommand\deg{{}^{\circ}}}$　解答は小数第3位を四捨五入して、小数第2位までを単位なしで入力してください。角度は弧度法ではなく度数法で表すものとします。
（例） $12\deg$ → $\color{blue}{12.00}$　　$\frac{360}{7}^{\circ}$ → $\color{blue}{51.43}$
　入力を一意に定めるための処置です。
　近似値を求める際には、関数電卓やグーグルの電卓機能、Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com などのご利用をお勧めします。

問題文

長さnのロープがあるとき、ロープの始点と終点をくっ付けて出来る平面図形の最大の面積または近似値を求めよ。ただし、ロープは自由自在に曲げられ、無限の頂点を持つものとする。

解答形式

答えとその理由を書いてください。

問題文

数列{a_n}を,
a_1=log2 , a_(n+1)=(na_n+log(2n+1)+log2)/(n+1)
によって定める。
このとき, この数列の一般項 a_n および 極限値 lim(n→∞) (a_n-logn) をそれぞれ求めよ。

記述解答(大雑把で良い)でお願いします。

問題

以下の問に関して, $2.71<e<2.72$ , $3.14<π<3.15$ とする.

(1) $a≠0$ のとき $a+1$ , $e^a$ の大小を比較せよ.

(2) $α>0$ かつ $β>0$ かつ $α≠β$ のとき,
$\hspace{11pt} $ $α-β$ , $β(logα-logβ)$ の大小を比較せよ.

(3) $e^π$ , $π^e$ の大小を比較せよ.

(4) $e^{e^e},e^{e^π},e^{π^e},e^{π^π},π^{e^e},π^{e^π},π^{π^e},π^{π^π} $ の大小を比較せよ.
$\hspace{11pt} $ここで, $a^{b^c}$は $a^{(b^c)} $を表す.

解答形式

(1) ① $a+1$ ② $e^a$
(2) ① $α-β$ $\:$② $β(logα-logβ)$
(3) ① $e^π$ ② $π^e$
(4) ①$e^{e^e}$②$e^{e^π}$③$e^{π^e}$④$e^{π^π}$⑤$π^{e^e}$⑥$π^{e^π}$⑦$π^{π^e}$⑧$π^{π^π} $
として問ごとに改行し,小さい順に左から半角数字を用いて並べよ.
(例)12345678