公開日時: 2024年5月4日0:04 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 競技数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
正八角形 $P_1P_2P_3P_4P_5P_6P_7P_8$があり, 各頂点に $0,1,2$ のいずれかの数字を $1$ つずつ書き込みます.
頂点 $P_i$ に書かれた数字のことを, $f(P_i)$ で表すこととします.
正八角形の頂点 $P_i$ が"孤独な頂点"であるとは, $f(P_i) \neq f(P_{i-1})$ かつ $f(P_i) \neq f(P_{i+1})$ を満たすことと定義します.
ただし, 便宜上 $f(P_0)=f(P_8),\ f(P_9)=f(P_1)$ であるとします.
また, 正八角形の"孤独な頂点"の個数を"孤独度"と呼ぶことにします.
正八角形の頂点に数字を書き込む方法は $3^8$ 通りありますが, それらすべてについて"孤独度"の総和を求めてください.
例:
$$(f(P_1), f(P_2), f(P_3), f(P_4),f(P_5), f(P_6), f(P_7), f(P_8)) = (0,1,2,1,2,1,2,0)$$ のときは $P_2,...,P_7$ が"孤独な頂点"となるので, この数字の書き込み方の"孤独度"は $6$ となります.
答えは正の整数値となるので, その整数値を半角で入力してください.
公開日時: 2020年7月8日17:37 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 自動ジャッジ
$\mathbb{R}^3$上の単位球面
$$
S^2=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}
$$に対して,その開部分集合 $U=S^2\setminus \{(x,y,z)\in S^2 \mid x\geq 0, y=0\}$ を考える。また,$\mathbb{R}^2$ の部分集合を
$$
V=\{(\theta, \varphi)\in\mathbb{R}^2\mid -\pi/2 < \theta < \pi/2, \;0<\varphi <2\pi\}
$$とおく。
写像 $f:V\to U, g: V\to \mathbb{R}^2$ を次のように定める。
\begin{align}
f(\theta, \varphi)&=(\cos\theta\cos\varphi, \cos\theta\sin\varphi, \sin\theta)\\
g(\theta, \varphi)&=(\varphi \cos\alpha, \sin\alpha)
\end{align}ただし,$\alpha$ は,関係式
$$
\sin 2\alpha+2\alpha=\pi\sin\theta
$$の唯一の解である。$g$ が単射であることは証明なしに用いてよい。
(1) $(\xi, \eta)=g(\theta, \varphi)$ とし,行列
$$
J(\theta, \varphi)=\begin{pmatrix} \cfrac{\partial\xi(\theta, \varphi)}{\partial \theta} & \cfrac{\partial\eta(\theta, \varphi)}{\partial \theta} \\ \cfrac{\partial\xi(\theta, \varphi)}{\partial \varphi} & \cfrac{\partial\eta(\theta, \varphi)}{\partial \varphi} \end{pmatrix}
$$を考える。このとき
$$
|{\rm det}\,J(\theta, \varphi)|=\fbox{ア}\cos\theta
$$である。
(2) 領域 $g(f^{-1}(U))$ の面積は $\fbox{イ}$ である。
空欄 $\fbox{ア}$, $\fbox{イ}$ には正の実数が当てはまる。これを $10$ 進小数に表し,小数第 $4$ 位以降を切り捨てたものを改行区切りで半角数字 0-9
およびピリオド .
を用いて入力しなさい。例えば,$1.2345\cdots$ を当てはめるなら 1.234
と解答すること。
公開日時: 2022年5月20日7:24 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 大学数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
$a_{1} = 3$ , $a_{n+1} = \frac{a_{n}(a_{n}+1)}{2}$
とする($n$は自然数)。
また、$2$ 以上の自然数を $p$ とし、$a_{n}$を $3^{p}$ で割った時の余りを $R_{n}^{p}$ とする。
このとき、数列 {$R_{n}^{p}$} は
「周期の長さが $2×3^{p-2}$ 」であり、
かつ「 $0$ 以上 $3^{p}$ 未満の $3$ の倍数のうち $9$ の倍数ではない数」
をすべて巡回することを示せ。
論述形式です。途中までの投稿もOKです。$p$ の値が小さければ、試してみると成立していることが分かります。
公開日時: 2020年6月10日13:54 / ジャンル: 数学 / カテゴリ: 高校数学 / 難易度: / ジャッジ形式: 採点者ジャッジ
$a=e^{2AX},c=e^{2CX}$(Xは正の定数,A,Cは実数)とする.
$f(x)=-a\log_e(x+c)+X$とする.$y=f(x)$の$y$切片を点P,
$y=f(x)$と点$(0,X)$で接する接線$l$と$y$軸とが成す角を
$\theta\;(\theta\mbox{は}0<\theta<\dfrac{\pi}{2}\mbox{を満たす実数})$,$y=f(x)$の$x$切片を点Qとする.
$\tan\dfrac{\theta}{2}$をネイピア数$e$を用いて表せ.
また,点Qの$x$座標が正の無限大に大きくなるとき,$\tan\dfrac{\theta}{2}$の値の極限値を求めよ.
記述式解答を求む.(直感で答えが出る可能性があるので)