全問題一覧

問題文

p^q+q^p+pq+p+qが素数となるような素数p,qの組を全て求めよ。

解答形式

例
(p,q)=(2,3),(5,7)
または
存在しない
で答えて

問題文

すべての自然数nにおいて、

が整数となるか。

解答形式

YESorNOで答えて

問題文

算数さんは、97円の商品Aと、56円の商品Bと、商品Bより安い商品Cをそれぞれ1個以上、合わせて123個買ったところ、9471円でした。Cの値段として考えられる値段の総和を解答してください。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

以下の条件を満たすNを13で割った余りを求めてください。
・Nは5ケタの正整数で、一万の位と十の位、千の位と一の位は同じ数である。
・Nを7で割った余りは6である。

解答形式

半角数字で解答してください。

問題文

f(n)を、nを2,3,4…n-1進数で表したとき末尾に0が並ぶ個数の和であるとする。
（1）f(4000)を求めよ。
（2）nは2種類の素因数を持ち、指数が等しい。このとき、f(n)が奇数になる条件を述べよ。

解答形式

記述。

$N$ を自然数とし、以下の変数を定義します。
* $S$：$N$ の各位の和
* $P$：$N$ の各位の積
* $k$：$N$ の桁数

このとき、次の条件式を満たす自然数 $N$ をすべて求めてください
$$N = S^k + P \dots (*)$$
なお、必要であれば常用対数の値を用いてもよいです。

(例) $N = 1234$ のとき
* $S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10$
* $P = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$
* $10^3 \le 1234 < 10^4$ より $k = 4$
このとき、$S^k + P = 10^4 + 24 = 10024$ となります。
$N \neq S^k + P$ （$1234 \neq 10024$）であるため、この $N$ は条件を満たさないことがわかります。

解答形式

Nを小さい順に並べて解答してください

解答例:N=12,34のとき(実際の解とは異なりますが…)
12
34

【問題】
2つの自然数 $n, m \ (n < m)$ に対し、$n$ から $m$ までの連続する自然数の総和を $S$ とします。
また、$m$ の桁数を $k$ とするとき、以下の方程式 $(*)$ を考えます。

$$S = n \times 10^k + m$$

（例：$n = 13, m = 53$ のとき、$S = 13 + 14 + \dots + 53 = 1353$ であり、$13 \times 10^2 + 53 = 1353$ となるため、方程式を満たす。）

$n$ と $m$ がともに 同じ桁数 $k$ のゾロ目（すべての桁の数字が同じ自然数）であるとき、条件 $(*)$ を満たす組 $(n, m)$ をすべて求めてください。

※申し訳ないのですが(n,m)の正解が入力できなかったので(n,m)=(1,2),(3,4),(2,5)のときはn=1,2,3m=2,5,4と入力してください…。nが小さい順に組を並べていってください。もしnの値が等しかったときはその部分だけmの値が小さくなるよう並び替えてください…
解答例　(n,m)=(5,6),(77,88)(77,3)のとき
n=5,77,77
m=6,3,88

【問題】
自然数 $n$ に対して、$n$ を10進法で表したときの各位の数の和を $S(n)$ とする。（例えば、$S(2026) = 2 + 0 + 2 + 6 = 10$ である。）
4桁以下の自然数 $n \ (1 \leqq n \leqq 9999)$ について、以下の問いに答えよ。

(1) $S(2n) = 2S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。

(2) $S(2n) = S(n)$ を満たす $n$ の個数を求めよ。

(3) 以下の値をそれぞれ求めよ。
　(i) $\sum_{n=1}^{9999} S(n)$
　(ii) $\sum_{n=1}^{9999} S(2n)$

※自動判定のため、(1)、(2)、(3)(i)、(3)(ii) の解答 を、上から順に入力してください

問題文

完全数たる半素数を全て求めよ。

註

完全数：その数自身を除く正の約数の総和が，その数自身に等しい数。e.g. $28=1+2+4+7+14$
半素数：$2$ つの素数の積で表される数。

解答形式

解が複数ある場合には，小さいものから順に並べ，半角のカンマ「,」で区切り入力してください。スペースは不要です。

問

√13ー２√11を√を使用せずに答えなさい

解答形式

中学生までの知識のみを使用し解となぜその解になるのか示しなさい

問題文

$$
p^{q+r} +q^{p+r} +r^{p+q}が素数となるような10以下の素数の組(p,q,r)の個数を求めよ。
$$

解答形式

半角数字で解答してください。覚悟して解いてください。

問題文

₁₃₅C₃₀を7で割った余りを求めてください。

解答形式

半角数字で入力してください。