数学の問題一覧
問題文
正$N$角形の頂点から3点選び三角形を作るとき，合同ではない三角形は何通りできるか。$a,b,c$に当てはまる非負整数と$e$に当てはまる式を答えてください。
$$
n( \{ (x, y, z)\, |\, \boxed{\strut \,a\,}x+\boxed{\strut \,b\,}y+\boxed{\strut \,c\,}z=\boxed{\strut \,e\,},\: x,\! y,\! z\! \in\! {\mathbb N} \})
$$
ただし${\mathbb N}$は非負整数全体の集合とし，${n({\mathbb A})}$は集合${{\mathbb A}}$の要素数を表します。
解答形式
1行目に$a,b,c$をスペース区切りで答えてください。$a+b+c$が最小になるよう答えてください。$a,b,c$は順不同です。
2行目に$e$をスペースを含めず答えてください。
例)
1 1 1
N+10
問題文
(2021.3.13 15:56 追記) 解答に誤りがあったため修正しました。
次の不等式を満たす最大の自然数$n$を求めてください。
$$
2^{n+1}-10\sum_{k=1}^n \lfloor \frac{2^{k-1}}{5} \rfloor \le 20210220
$$ただし、$\lfloor x\rfloor$は$x$を超えない最大の整数を表します。
解答形式
半角数字で解答してください。
問題文
半径21の扇形に図のように線を引きました。青い三角形の面積が213のとき、赤い線分の長さを求めてください。
※高校数学カテゴリに入れてますが、中学数学範囲での綺麗な解法をTwitterにて頂きました。是非考えてみてください。
解答形式
解答は既約分数$\frac{\fbox{アイウ}}{\fbox{エ}}$となります。文字列「アイウエ」を解答してください。
ただし、$\fbox ア ～ \fbox エ$には$0$以上$9$以下の整数が入ります。
問題文
図のように3つの正方形が配置されています。3つの線分の長さが図のように与えられたとき、緑の六角形の面積を求めてください。
解答形式
面積は、
$$
\fbox{アイ}+\frac{\fbox{ウエ}\sqrt{\fbox{オカ}}}{\fbox{キ}}
$$
となります。$\fbox ア～\fbox キ$には0以上9以下の整数が入ります。文字列「アイウエオカキ」を解答してください（「」は不要）。ただし、根号の中身や分数は最も簡単な形にしてください。
例$$
面積S=17+\frac{22\sqrt{52}}{8}\rightarrow 17+\frac{11\sqrt{13}}{2}\rightarrow 1711132 と解答
$$
問題文
$x,y,z$は全て正の実数とします。次式で定義される$f(x,y,z)$について、次の値を求めてください。$$f(x,y,z)=\frac{1+x^2}{y+z}+\frac{1+y^2}{z+x}+\frac{1+z^2}{x+y}$$
$(1)$ $f(x,y,z)$の最小値
$(2)$ $x+y+z=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値
$(3)$ $x^2+y^2+z^2=1$のとき、$f(x,y,z)$の最小値
解答形式
$(1)$の答えは$\fbox ア$、$(2)$の答えは$\fbox イ$、$(3)$の答えは$\fbox ウ\sqrt{\fbox エ}$です。
文字列「アイウエ」を解答してください。
問題文
どの辺の長さも整数である$\triangle ABC$の面積を$S$とする。$S^2$の小数部分を求めよ。
解答形式
とりうるすべての小数部分を小さい順に都度改行、列挙してください。
例：
「0,1/2,1/3,1/6,1/√5」の場合、
0
0.5
0.'3'
0.1'6'
1/\sqrt{5}
問題文
$xy$平面上において、$A(1,0),B(1,1)$とする。中心が原点の単位円上に動点$P$、線分$AB$上に動点$Q$をとる。また、三角形$PQR$が正三角形となるように点$R$をとる。ただし、点$P,Q,R$はこの順に反時計回りに位置し、点$P,Q$がともに$(1,0)$にあるときは$R(1,0)$とする。このとき、点$R$の動きうる領域を図示し、その面積を求めよ。
解答形式
面積のみを解答してください。
答えは$\displaystyle\frac{\pi}{a}+\frac{b+\sqrt{c}}{d}$($a,b,c,d$は1桁の自然数)となりますので、センター、共通テスト形式で$a,b,c,d$を埋め、4桁の自然数「abcd」を入力してください。